練習題:請證明變異數的三個定理
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變異數 (Variance, 方差)
\begin{eqnarray} 1. && Var(c) = 0 \\ 2. && Var(c X) = c^2 Var(X) \\ 3. && Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) ; 如果 X 與 Y 彼此獨立 \end{eqnarray}
證明定理 1 : Var(c) = 0 (2)\begin{eqnarray} Var[c] &=& E[(c - E[c])^2] &\;&; 根據變異數的定義 \\ &=& E(c^2) - E(c)^2 &\;&; 根據定理 (a) \\ &=& c^2 - c^2 &\;&; 因為 E(c) = c \\ &=& 0 &\;&; \end{eqnarray}
定理 2 : $Var(c X) = c^2 Var(X)$ (3)\begin{eqnarray} Var(c X) &=& E[(c X - \mu_X^2] &\;&; 根據變異數的定義 \\ &=& E(c^2 X^2) - E(c X)^2 &\;&; 根據定理 (a) \\ &=& c^2 E(X^2) - c^2 E(X)^2 &\;&; 常數項提出來 \\ &=& c^2 (E(X^2) - E(X)^2) &\;&; 根據算術分配律 \\ &=& c^2 Var(X) \end{eqnarray}
定理 3 : Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) ; 如果 X 與 Y 彼此獨立 (4)\begin{eqnarray} Var[X+Y] &=& E[((X+Y) - (\mu_x + \mu_y))^2] &\;&; 根據變異數的定義 \\ &=& E[((X+Y) - (E[X] + E[Y]))^2] &\;&; \mu_x 就是 E[X], \mu_y 就是 E[Y], \\ &=& E[(X+Y)^2] - (E[X] + E[Y])^2 &\;&; 根據定理 (a) \\ &=& E[X^2+2 X Y + Y^2] - E[X]^2 - 2 E[X]E[Y] - E[Y]^2 &\;&; 根據乘法定義 \\ &=& E[X^2] + E[2 X Y] + E[Y^2] - E[X]^2 - 2 E[X] E[Y] - E[Y]^2 &\;&; 根據乘法定義 \\ &=& E[X^2] + E[Y^2] + 2 (E[X Y] - E[X] E[Y]) - E[X]^2 - E[Y]^2 &\;&; 簡單移項 \\ &=& E[X^2] + E[Y^2] - E[X]^2 - E[Y]^2 &\;&; X,Y 獨立時 E[XY] = E[X] E[Y] \\ &=& (E[X^2] - E[X]^2) + (E[Y^2] - E[Y]^2) &\;&; 簡單移項 \\ &=& Var(X) + Var(Y) &\;&; 根據定理 (a) \\ \end{eqnarray}
參考文獻
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page revision: 10, last edited: 02 Nov 2011 00:13
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