機率法則
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機率的解讀1. 個人方式：(personal approach) ：主觀的意見與猜測。 \begin{align} P[A] = \frac{f}{n} = \frac{事件 A 的出現的次數}{實驗進行的次數} \end{align}
3. 古典方式：(classical approach) ： 等可能出像 (equally likely) 的假設。 (2)\begin{align} P[A] = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{事件 A 的可能出現次數}{實驗可能進行的次數} \end{align}
機率公設(3)\begin{eqnarray} (1) & & P(S) = 1 \\ (2) & & P(A) \ge 0 \\ (3) & & P(A1 \cup A2) = P(A1) + P(A2) \; ; \; if \; A1 \cap A2 = \emptyset \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} (1) & & P(\emptyset) = 0 \\ (2) & & P(A') = 1-P(A) \\ (3) & & P(A1 \cup A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 \cap A2) \\ \end{eqnarray}
條件機率
\begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \end{align}
獨立事件
\begin{align} P(A \cap B) = P(A) P(B) \end{align}
乘法規則(7)\begin{align} P(A \cap B) = \frac{P(A | B) } {P(B)} \end{align}
\begin{eqnarray} P(A \cap B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} P(B) = \frac{P(A | B) } {P(B)} \end{eqnarray}
貝氏定理(9)\begin{align} P(A | B) = P(B | A) \frac{P(A)}{P(B)} \end{align}
\begin{eqnarray} because && P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ and && P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ so && P(A \cap B) = P(B|A] P(A) = P(A|B) P(B) \\ finally && P(A | B) = P(B | A) \frac{P(A)}{P(B)} \end{eqnarray}
離散分配
連續分配
\begin{eqnarray} 1. && p(x) \ge 0 \\ 2. && \int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = 1 \\ 3. && P(a \le X \le b) = \int_a^b p(x) dx \end{eqnarray}
定理：(轉換定理) $p_Z(t) = p_X(g^{-1}(t)) \| \frac{d g^{-1}(t)}{d t} \|$ ; 其中 Z = g(X), g 必須是單調函數 (一直上升或一直下降) \begin{eqnarray} p_Z(t) &=& \frac{d}{db} P[Z \in (a,b]] = \frac{d}{db} P[X \in (g^{-1}(a),g^{-1}(b)]] \\ &=& \frac{d}{db} \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} p_X(x) dx = \frac{d}{dt} |_b * p_X(g^{-1}(b)) \end{eqnarray}
期望值
\begin{eqnarray} 1. E[c] &=& c \\ 2. E[c X] &=& c E[X] \\ 3. E[X + Y] &=& E[X] + E[Y] \end{eqnarray}
變異數
\begin{eqnarray} 1. Var(c) &=& 0 \\ 2. Var(c X) &=& c^2 Var(X) \\ 3. Var(X + Y) &=& Var(X) + Var(Y) ; 如果 X 與 Y 彼此獨立 \end{eqnarray}
動差生成函數 (Moment Generation Function)(15)\begin{align} m_x(t) = E(e^{t X}) = E(1+ t X + \frac{(t X)^2}{2!} + .... + \frac{(t X)^k}{k!}+ .....) \end{align}
共變異數(16)\begin{align} \sigma_{XY} = Cov(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] \end{align}
相關係數(17)\begin{align} \rho_{X Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} \end{align}
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page revision: 69, last edited: 24 Sep 2011 00:29
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