機率統計教學錄影數學符號數學基礎排列組合機率統計簡介機率機率公理隨機變數連續測度單一分布條件機率聯合分布貝氏定理動差生成函數特徵函數機率法則匯總離散分布二項分布多項分布負二項分布幾何分布超幾何分布布瓦松分布連續分布均勻分布常態分布Gamma 分布指數分布卡方分布柯西分布Weibull 分布T 分布F 分布Beta 分布多維分布統計抽樣敘述統計推論統計中央極限定理估計方法單組樣本估計兩組樣本估計檢定方法單組樣本檢定兩組樣本檢定平均値的推論變異數的推論無母數推論迴歸分析變異數分析實驗設計因子實驗品質管制時間序列數據分類統計定理匯總統計情況分類計算統計蒙地卡羅法最大似然法則假說與學習EM 算法簡單貝氏分類貝氏網路隨機過程馬可夫鏈蒙地卡羅馬可夫資源範例投影片教學錄影練習題考題解答訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
隨機變數定義：隨機變數系以樣本空間 S 為定義域的實數值函數。 換言之，隨機變數 X 是一個機率空間 (probability space) 中的函數，可以寫為 $X(S) \rightarrow R$，該函數將 S 的某一子集合映射到實數領域 R，以下是隨機變數的定義： (1)\begin{align} X(s) \quad; \quad 其中 s \in S, X(s) \in R \end{align}
而機率密度函數則是一個符合機率公理的的函數 P，當我們寫 P[X=x] 時，意味著 x 是一個特定實數，其機率定義如下： (2)\begin{align} P[X=x] = P(S_x) = P(\{s:X(s)=x\}) = \sum_{s \in S_x} P(s) \end{align}
其中的 $S_x$ 乃是一個 S 的子集合，定義為 $S_x = \{s:X(s)=x\}$。 舉例而言，P[X=2] 代表 $P({s \in A: X(s)=2})$ 的機率。 範例1：
範例2：
範例3：
範例4：
補充：為了方便起見，我們經常會將 P[X=1] 簡寫成 P[1] 或 f(1)，P[X=x] 簡寫成 P[x] 或 f(x)。 在單一個樣本空間 S 中，可以有很多不同的隨機變數 X, Y, … ，因為將 S 映射到 R 的函數有很多。 (3)\begin{eqnarray} X(s) && \quad; \quad 其中 s \in S, X(s) \in R \\ Y(s) && \quad; \quad 其中 s \in S, Y(s) \in R \\ ... \end{eqnarray}
隨機變數的代數運算在機率統計中，我們經常看到隨機變數可以像數值一樣進行 +, -, * 等運算。舉例而言，假如 X, Y 均為隨機變數，那麼 $3 X, X+Y, X-2Y, X Y, X^2$ 等都是隨機變數。 但是在前一節當中，我們看到了隨機變數其實被定義為一個「實數值函數」X(S)->R，那麼這些 +, -, * 等運算就是在函數上所近行的運算，這些運算的函意到底是甚麼呢？ 3X 的意義隨機變數 3X 代表的是一個函數 Z=3X，其中 Z 函數對每一個元素 s 的映射值均為 X 的 3 倍，也就是 ： (4)\begin{equation} Z(s) = 3 * X(s) \end{equation}
範例5：
進階： 範例6：
X+Y 的意義隨機變數 X+Y 代表的是一個函數 Z=X+Y，其中 Z 函數對每一個元素 s 的映射值均為 X + Y 的映射值總和，也就是： (5)\begin{equation} Z(s) = X(s)+Y(s) \end{equation}
範例7：
範例8：令 X 為擲骰子點數的隨機變數，Y 為丟銅板所得正面次數的隨機變數，那麼 X+Y 這個隨機變數代表甚麼意義呢？
X Y 的意義隨機變數 X Y 代表的是一個函數 Z=X Y，其中 Z 函數對每一個元素 s 的映射值均為 X Y 的映射值乘積，也就是： (6)\begin{equation} Z(s) = X(s) Y(s) \end{equation}
範例9：令 X 為擲骰子點數的隨機變數，Y 為丟銅板所得正面次數的隨機變數，那麼 X Y 這個隨機變數代表甚麼意義呢？
$X^k$ 的意義隨機變數 $X^k$ 代表的是一個函數 Z=X^k，其中 Z 函數對每一個元素 s 的映射值均為 X(s) 的 k 次方，也就是： (7)\begin{equation} Z(s) = X^k(s) \end{equation}
範例10：X 為投擲 1 顆骰子點數的隨機變數，且定義 $Z = X^2$ ，請問隨機變數 P(Z=4) 的機率為何？
期望值與變異數期望值 E(X)：離散隨機變數 X 的期望值 E(X) 定義如下 (8)\begin{align} E[X] = \sum_{x \in X(S)} x P(x) \quad ; \quad 經常會簡寫為 \mu \end{align}
變異數 Var(X)：離散隨機變數 X 的變異數 Var(X) 定義如下 (9)\begin{align} Var(X) = \sum_{x \in X(S)} (x-\mu_X)^2 P(x) \end{align}
期望值 E[g(X)] ：期望值的通式 E[g(X)] 定義如下： (10)\begin{align} E[g(X)] = \sum_{x \in X(S)} g(x) P(x) \end{align}
注意：
結語隨機變數 X, Y, Z, … 乃是一種作用於樣本空間 S 的實函數，此種函數會將樣本點映射到實數中，例如： $X(S) \rightarrow R$ 代表函數 X 將樣本空間中的元素 s 映射到某個實數值 x。 而隨機變數之間的代數運算，像是 $3X, X+Y, X-2Y, X Y, X^k$ 等運算的結果，也仍然是一種作用在樣本空間 S 的實函數，只是當 X, Y 兩者的樣本空間有所不同時，我們必須以兩者樣本空間的迪卡兒乘積 $S = (S_X, S_Y)$ 作為樣本空間。 此時 X, Y 的機率密度函數將會採用以下的「邊際機率密度函數」之算法，以便將聯合樣本空間 $(S_X, S_Y)$ 中的機率與單一樣本空間 $S_X$ 或 $S_Y$ 中的機率關聯起來。 (11)\begin{eqnarray} P(X=x) &=& P(x, \_) = \sum_{y \in S_Y} P(x,y) \\ P(Y=y) &=& P(\_, y) = \sum_{x \in S_X} P(x,y) \end{eqnarray}
最後我們必須強調的是，樣本空間的選擇並沒有一定的標準，您可以視問題的需要來定義樣本空間，不過樣本空間當然是越小越好，否則將會很難計算。 參考文獻
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隨機變數 (Random Variable)
page revision: 88, last edited: 30 Nov 2011 06:07
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