布瓦松分布
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布瓦松分布 (Poisson distribution)
\begin{align} f(x) = \frac{e^{-k} k^x}{x!} \end{align}
\begin{align} pois(λ) = \frac{λ^x e^{-λ}}{x!} \end{align}
特性布瓦松分布可以與泰勒展開式中的 Maclaurin 級數對映起來，所謂的Maclaurin級數就是泰勒展開式在 0 點的展開式。 If the Taylor series is centered at zero, then that series is also called a Maclaurin series, named after the Scottish mathematician Colin Maclaurin, who made extensive use of this special case of Taylor series in the 18th century. (3)\begin{equation} e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+ ... + x^k/k! + .... \end{equation}
布瓦松分配的公式來源布瓦松分配可視為二項分配的極限形式，當 binom(n, p) 當中 n 趨近於無限大，而 p 非常小的時候，就會趨近布瓦松分配。 關鍵公式： (4)\begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda} \end{align}
證明過程： (5)\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} P(X_n=k) &=& \lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &=&\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\ &=&\lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_{A_n} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &=& \left[ \lim_{n\to\infty} A_n \right] \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \\ &\to& \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \end{eqnarray}
其中的 An 趨近於 1 ，證明如下： (6)\begin{eqnarray} A_n &=& \frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\\ &=& \frac{n\cdot (n-1)\cdots \big(n-(k-1)\big)}{n^k}\\ &=& 1\cdot(1-\tfrac{1}{n})\cdots(1-\tfrac{k-1}{n})\\ &\to & 1\cdot 1\cdots 1 = 1 \end{eqnarray}
期望值與變異數(7)\begin{eqnarray} 1. && E(X) = k = λ \\ 2. && Var(X) = k = λ \end{eqnarray}
動差生成函數(8)\begin{equation} m_x(t) = e^{k (e^t-1) } = e^{λ (e^t-1) } \end{equation}
R 程式範例一
 R 程式範例二
執行結果：
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page revision: 30, last edited: 26 Oct 2011 07:24
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