動差生成函數 (Moment Generation Function)
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相關文章一：泰勒展開式 (Taylor Series) 與函數逼近論 定義：k 階一般動差令 X 為隨機變數，則 X 的k 階一般動差定義為 $E[X^k]$ 動差生成函數 (Moment Generation Function, MGF)(1)\begin{align} m_x(t) = E(e^{t X}) = E(1+ t X + \frac{(t X)^2}{2!} + .... + \frac{(t X)^k}{k!}+ .....) \end{align}
回到期望值的定義： (2)\begin{eqnarray} 離散情況： && E(e^{t X}) = \sum_{x \in S} {e^{t x}} p(x) \\ 連續情況： && E(e^{t X}) = \int_{-\infty}^{\infty} {e^{t x}} f(x) dx \\ \end{eqnarray}
動差生成函數的用途動差生成函數可以作為一個隨機變數的「指紋」，意思是如果兩個隨機變數 X, Y 的動差生成函數 $E(e^{t X}), E(e^{t Y})$ 相同，則這兩個隨機變數必然相同。 (回顧一)：f(x) 在 0 點的泰勒展開式 (麥克羅林級數) 可以作為一個函數的指紋，意思是如果兩個函數的泰勒展開式相同，則這兩個函數必然相同 (這點是高等微積分課程的核心)。 (回顧二)：函數 f(x) 的特徵函數 (Characteristic function) 為 $E(e^{i t X}) = e^i E(e^{t X}) = e^i E(1+ t X + \frac{(t X)^2}{2!} + .... + \frac{(t X)^k}{k!}+ .....)$ 參考文獻
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page revision: 11, last edited: 10 Dec 2011 03:31
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