平均值與變異數的信賴區間估計(2)

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文章 習題一：某樣本序列如下 3.1 3.5 2.9 3.8 3.6 2.5 4.0 3.3 3.9 2.8 請計算其樣本平均數 $\bar{X}$， 樣本變異數 $S^2$。 > x = c(3.1, 3.5, 2.9, 3.8, 3.6, 2.5, 4.0, 3.3, 3.9, 2.8) > mean(x) [1] 3.34 > var(x) [1] 0.256 > 習題二：同上題，假設其母體變異數為 0.25，請計算其母體平均數 $\mu$ 的 95% 信賴區間。 (參考累積常態分布表) 已知 $\sigma^2$ 時，$\mu$ 的信賴區間公式如下。 (1) \begin{align} P[\bar{X}+Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + Z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}] = 1-\alpha \end{align} mean.range = function(x, alpha=0.05, sigma) { n = length(x) # n = 樣本數 mx = mean(x) # mx 即為平均值 mu 的點估計 r1 = qnorm(alpha/2) # 信賴區間，下半截掉 alpha/2 r2 = qnorm(1-alpha/2) # 信賴區間，上半截掉 alpha/2 L1 = mx+r1*sigma/sqrt(n) # 信賴區間下限 L2 = mx+r2*sigma/sqrt(n) # 信賴區間上限 range = c(L1, mx, L2) # 信賴區間 } > r1 = qnorm(0.025) > r1 [1] -1.959964 > r2 = qnorm(0.975) > r2 [1] 1.959964 > r = mean.range(x, sigma=sqrt(0.25)) > r [1] 3.030102 3.340000 3.649898 習題三：同上題，但是假設我們不知道其母體變異數，請計算其其母體平均數 $\mu$ 的 95% 信賴區間。 (參考累積 T 分布表，注意自由度) 未知 $\sigma^2$ 時，$\mu$ 的信賴區間公式如下。 (2) \begin{align} P[\bar{X}+T_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + T_{1-\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}] = 1-\alpha \end{align} mean.range2 = function(x, alpha=0.05) { n = length(x) # n = 樣本數 mx = mean(x) # mx 即為平均值 mu 的點估計 S = sqrt(var(x)) # S 即為標準差的點估計 r1 = qt(alpha/2, df=n-1) # 信賴區間，下半截掉 alpha/2 r2 = qt(1-alpha/2, df=n-1) # 信賴區間，上半截掉 alpha/2 L1 = mx+r1*S/sqrt(n) # 信賴區間下限 L2 = mx+r2*S/sqrt(n) # 信賴區間上限 range = c(L1, mx, L2) } > x [1] 3.1 3.5 2.9 3.8 3.6 2.5 4.0 3.3 3.9 2.8 > r1 = qt(0.025, df=9) > r1 [1] -2.262157 > r2 = qt(0.975, df=9) > r2 [1] 2.262157 > mean.range2(x) > r = mean.range2(x) > r [1] 2.978055 3.340000 3.701945 > 習題四：同上題，請計算其變異數 $\sigma^2$ 的 95% 信賴區間。(參考累積卡方分布表，注意自由度) 變異數的信賴區間公式如下。 (3) \begin{align} P[\frac{(n-1) S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1) S^2}{\chi_{\alpha/2}^2}] = 1-\alpha \end{align} var.range = function(x, alpha=0.05) { n = length(x) # n = 樣本數 r1 = qchisq(alpha/2, df=n-1) # 信賴區間，下半截掉 alpha/2 r2 = qchisq(1-alpha/2, df=n-1) # 信賴區間，上半截掉 alpha/2 S2 = var(x) # 樣本變異數 L1 = (n-1)*S2/r2 # 信賴區間下限 L2 = (n-1)*S2/r1 # 信賴區間上限 range = c(L1, S2, L2) # 信賴區間 } > x [1] 3.1 3.5 2.9 3.8 3.6 2.5 4.0 3.3 3.9 2.8 > r1 = qchisq(0.025, df=9) > r1 [1] 2.700389 > r2 = qchisq(0.975, df=9) > r2 [1] 19.02277 > r = var.range(x) > r [1] 0.1211180 0.2560000 0.8532102 > Facebook 留言 Facebook Wikidot Post preview: Close preview or Sign in as Wikidot user (will not be published) - + Help: wiki text quick reference 授權 本網頁的作者、授權與引用方式 作者 陳鍾誠，於金門大學資訊工程系，電子郵件：wt.ude.uqn|ccc#wt.ude.uqn|ccc，網站：http://ccckmit.wikidot.com。 授權 本文採用創作共用 (Creative Common) 3.0 版的 姓名標示─非商業性─相同方式分享 授權條款，歡迎轉載或修改使用，但若做為商業使用時必須取得授權，引用本文時請參考下列格式。 中文版 (APA格式) 陳鍾誠 (14 Dec 2011 06:21)，(網頁標題) 平均值與變異數的信賴區間估計(2)，(網站標題) 陳鍾誠的網站，取自 http://ccckmit.wikidot.com/st:meanvarestex2 ，網頁修改第 17 版。 英文版 (APA格式) Chung-Chen Chen (14 Dec 2011 06:21), Retrieved from http://ccckmit.wikidot.com/st:meanvarestex2 , Page Revision 17.