聯合分配
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聯合密度函數定義：離散聯合密度函數 (1)\begin{align} f_{XY}(x,y) = P[X=x, Y=y] \\ \end{align}
必要條件： (2)\begin{eqnarray} 1. && f_{XY}(x,y) \ge 0 \\ 2. && \sum_{\forall x} \sum_{\forall y} f_{XY}(x,y) = 1 \end{eqnarray}
定義：連續聯合密度函數 (3)\begin{eqnarray} 1. && f_{XY}(x,y) \ge 0; \\ 2. && \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dy dx = 1 \\ 3. && P[a \le X \le b, c \le Y \le d,] = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f_{XY}(x,y) dy dx \\ \end{eqnarray}
範圍：$\quad -\infty < x < \infty;-\infty < y < \infty;$ 邊際密度函數定義：離散邊際密度函數 (4)\begin{align} 1. && f_{X}(x) = \sum_{\forall y} f_{XY}(x,y) \\ 2. && f_{Y}(y) = \sum_{\forall x} f_{XY}(x,y) \\ \end{align}
定義：連續邊際密度函數 (5)\begin{eqnarray} 1. && f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dy \\ 2. && f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dx \\ \end{eqnarray}
隨機變數之間的獨立性定義：如果 X,Y 滿足下列條件，則稱 X, Y 兩者之間獨立： (6)\begin{eqnarray} f_{XY}(x,y) = f_{X}(x) f_{Y}(y) \end{eqnarray}
聯合分配的期望值定義：聯合分配的期望值 E[H(X,Y)] (7)\begin{eqnarray} 1. 離散的情況：&& E[H(X,Y)] = \sum_{\forall x} \sum_{\forall y} H(x,y) f_{XY}(x,y) \\ 2. 連續的情況：&& E[H(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} H(x,y) f_{XY}(x,y) dy dx \\ \end{eqnarray}
定義：聯合分配中單一變數的期望值 (8)\begin{eqnarray} 1. 離散：&& E[X] = \sum_{\forall x} \sum_{\forall y} x f_{XY}(x,y) \\ 2. 離散：&& E[Y] = \sum_{\forall x} \sum_{\forall x} x f_{XY}(x,y) \\ 3. 連續：&& E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{XY}(x,y) dy dx \\ 4. 連續：&& E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{XY}(x,y) dy dx \\ \end{eqnarray}
共變異數 (Covariance, 協方差)定義：共變異數 Cov(X,Y) (9)\begin{align} \sigma_{XY} = Cov(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] \end{align}
定理：$Cov(X, Y) = E[X Y] - E[X] E[Y]$ 定理：如果 X, Y 相互獨立 ，則 $E[X Y] = E[X] E[Y]$ 。 相關係數 (Correlation)定義：相關係數 $Cor(X,Y) = \rho_{X Y}$ (10)\begin{align} Cor(X,Y) = \rho_{X Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} \end{align}
定理：$-1 \le \rho_{XY} \le 1$ 定理：$|\rho_{X Y}| = 1 \Leftrightarrow y = \beta_0 + \beta_1 X$ R 程式：相關係數
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page revision: 23, last edited: 16 Nov 2011 07:52
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