機率與統計 -- 簡介

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機率的解讀

1. 個人方式：(personal approach) ：主觀的意見與猜測。
2. 相對頻率：(relative frequency) ：基於實驗，得到的機率只是一種近似值。

(1)

\begin{align} P(A) = \frac{f}{n} = \frac{事件 A 的出現的次數}{實驗進行的次數} \end{align}

3. 古典方式 (classical approach) ：等可能出像 (equally likely) 的假設。

(2)

\begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{事件 A 的可能出現次數}{實驗可能進行的次數} \end{align}

4. 幾何方式：等幾何出像的假設 (geometric probability)。

當樣本點為有限可數時，可用古典的方法，但是當有無限的樣本點，特別是連續無限的情況時，就無法採用古典方式解讀 (因為每一點的機率都是 0)。

若樣本空間是一個包含無限個點的區域 S（一維，二維，三維或n維），樣本點是區域中的一個點。此時「等可能性」可以理解為「對任意兩個區域，當它們的測度 (Measure) (長度、面積、體積) 相等時，樣本點落在這兩個區域上的概率相等，與形狀與位置都無關。

如果定義事件 $A_g ={任取一個樣本點，它落在區域 g \in S }$ ，則 $$A_g$$ 的概率定義為

(3)

\begin{align} P(A_g) = \frac{g 的測度}{S 的測度} \end{align}

這樣定義的概率稱為幾何概率(geometric probability)。

名詞定義

隨機試驗 (Random Experiment): 舉凡觀察、實驗、調查、檢驗、抽樣等，皆可稱為隨機試驗。隨機試驗會產生一連串的樣本點，通常我們用符號 $$x_1 x_2 .... x_n$$ 代表這種實驗產生的樣本串列。
樣本空間 (Sample Space): 一個隨機試驗之各種可能結果的集合，稱為樣本空間，數學上通常以大寫字母，像是 S, X, Y 等符號表示。
樣本點 (Sample Point): 樣本空間內的一個元素，稱為樣本點，或稱樣本 (Sample)，數學上通常以小寫字母，像是 s, x, y 等符號表示。
母體 (Population): 產生樣本的機率來源，乃是在樣本空間中的一個完整機率分部，通常無法直接描述，必須透過統計方法推論出母體的大概樣貌。
事件 (Event): 乃是樣本空間的子集合，包含單一樣本的事件稱為簡單事件，包含兩個以上樣本的事件稱為複合事件。
隨機變數 (Random Variable): 隨機變數是以樣本空間為定義域的實數值函數，舉例而言，如果我們用隨機變數 X 代表投擲兩次銅板時正面 (1) 出現的次數，那麼隨機變數 X 的函數定義如下 X(00) = 0, X(01) = 1, X(10) = 1, X(11) = 2。
機率分布 (Probability Distribution): 機率分布乃是針對某些隨機變數之可能值，求其機率所得到的機率函數。通常我們用符號 P 代表機率分配，P(X=x) 代表 x 樣本出現的機率。
機率源 (Probability Source): 一個產生某隨機變數之樣本點的隨機產生器，稱為機率源，像是我們所生活的世界就是個複雜的機率源，而電腦的亂數產生器也是一種機率源。這是一個從整數領域映射到樣本點的函數 $$X(1..n) = [x_1,...,x_n]$$ ，代表產生該隨機實驗的系統或函數 (在機率的書籍中我還沒有看過機率源這個名詞，這個名詞是筆者為了方便而定義的)。

機率與統計 — 兩種不同的觀察角度

機率：母體 => 樣本
- 模型：(Modeling) 機率模型是以精確的數學描述某個的機率來源的方法。
- 抽樣：(Sampling) 從已知的母體抽取出樣本，稱為抽樣或取樣。
  - 蒙地卡羅法：從已知的「機率模型」產生一系列樣本，這種方法通常被稱為「蒙地卡羅法」。
統計：樣本 => 母體
- 推論統計：從樣本推論母體的大概模樣的數學方法，稱為「推論統計」。
- 敘述統計：描述樣本集合本身特性的數學方法，稱為「敘述統計」。