練習題:請證明期望值的三個定理
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期望值
\begin{align} E[H(X)] = \sum_{x \in S} H(x) p(x) \end{align}
\begin{align} E[X] = \sum_{x \in S} x\;p(x) \end{align}
\begin{eqnarray} 1. && E[c] = c \\ 2. && E[c X] = c E[X] \\ 3. && E[X + Y] = E[X] + E[Y] \end{eqnarray}
證明定理 1: E[c] = c (4)\begin{eqnarray} E[c] &=& \sum_{x \in S} (c *p(x)) &\;&; 根據期望值定義 \\ &=& c\;\sum_{x \in S} p(x) &\;&; 根據基本算術 \\ &=& c\; &\;&; 因為 p(x) 是機率密度函數 \end{eqnarray}
定理 2: E[c X] = c E[X] (5)\begin{eqnarray} E[c X] &=& \sum_{x \in S} (c *x*p(x)) &\;&; 根據期望值定義 \\ &=& c\;\sum_{x \in S} (x*p(x)) &\;&; 根據基本算術 \\ &=& c\;E[X] &\;&; 根據期望值定義 \end{eqnarray}
定理 3 : E[X + Y] = E[X] + E[Y] 假如離散隨機變數 X, Y 的機率密度函數分別用 $p_x(s)$ , $p_y(s)$ 代表。 (6)\begin{eqnarray} E[X+Y] &=& \sum_{s \in S} s (p_x(s) + p_y(s)) &\;&; 根據期望值定義 \\ &=& \sum_{s \in S} (s*p_x(s)) + \sum_{s \in S} (s*p_y(s)) &\;&; 根據乘法對加法的分配率 \\ &=& E(X) + E(Y) \end{eqnarray}
以上證明了離散的情況,連續的情況雷同,請比照上述寫法撰寫。 |
page revision: 18, last edited: 02 Nov 2011 00:04
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