練習題：請證明期望值的三個定理
機率統計教學錄影數學符號數學基礎排列組合機率統計簡介機率機率公理隨機變數連續測度單一分布條件機率聯合分布貝氏定理動差生成函數特徵函數機率法則匯總離散分布二項分布多項分布負二項分布幾何分布超幾何分布布瓦松分布連續分布均勻分布常態分布Gamma 分布指數分布卡方分布柯西分布Weibull 分布T 分布F 分布Beta 分布多維分布統計抽樣敘述統計推論統計中央極限定理估計方法單組樣本估計兩組樣本估計檢定方法單組樣本檢定兩組樣本檢定平均値的推論變異數的推論無母數推論迴歸分析變異數分析實驗設計因子實驗品質管制時間序列數據分類統計定理匯總統計情況分類計算統計蒙地卡羅法最大似然法則假說與學習EM 算法簡單貝氏分類貝氏網路隨機過程馬可夫鏈蒙地卡羅馬可夫資源範例投影片教學錄影練習題考題解答訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
期望值
\begin{align} E[H(X)] = \sum_{x \in S} H(x) p(x) \end{align}
\begin{align} E[X] = \sum_{x \in S} x\;p(x) \end{align}
\begin{eqnarray} 1. && E[c] = c \\ 2. && E[c X] = c E[X] \\ 3. && E[X + Y] = E[X] + E[Y] \end{eqnarray}
證明定理 1: E[c] = c (4)\begin{eqnarray} E[c] &=& \sum_{x \in S} (c *p(x)) &\;&; 根據期望值定義 \\ &=& c\;\sum_{x \in S} p(x) &\;&; 根據基本算術 \\ &=& c\; &\;&; 因為 p(x) 是機率密度函數 \end{eqnarray}
定理 2: E[c X] = c E[X] (5)\begin{eqnarray} E[c X] &=& \sum_{x \in S} (c *x*p(x)) &\;&; 根據期望值定義 \\ &=& c\;\sum_{x \in S} (x*p(x)) &\;&; 根據基本算術 \\ &=& c\;E[X] &\;&; 根據期望值定義 \end{eqnarray}
定理 3 : E[X + Y] = E[X] + E[Y] 假如離散隨機變數 X, Y 的機率密度函數分別用 $p_x(s)$ , $p_y(s)$ 代表。 (6)\begin{eqnarray} E[X+Y] &=& \sum_{s \in S} s (p_x(s) + p_y(s)) &\;&; 根據期望值定義 \\ &=& \sum_{s \in S} (s*p_x(s)) + \sum_{s \in S} (s*p_y(s)) &\;&; 根據乘法對加法的分配率 \\ &=& E(X) + E(Y) \end{eqnarray}
以上證明了離散的情況，連續的情況雷同，請比照上述寫法撰寫。 |
page revision: 18, last edited: 02 Nov 2011 00:04
Post preview:
Close preview