機率統計教學錄影數學符號數學基礎排列組合機率統計簡介機率機率公理隨機變數連續測度單一分布條件機率聯合分布貝氏定理動差生成函數特徵函數機率法則匯總離散分布二項分布多項分布負二項分布幾何分布超幾何分布布瓦松分布連續分布均勻分布常態分布Gamma 分布指數分布卡方分布柯西分布Weibull 分布T 分布F 分布Beta 分布多維分布統計抽樣敘述統計推論統計中央極限定理估計方法單組樣本估計兩組樣本估計檢定方法單組樣本檢定兩組樣本檢定平均値的推論變異數的推論無母數推論迴歸分析變異數分析實驗設計因子實驗品質管制時間序列數據分類統計定理匯總統計情況分類計算統計蒙地卡羅法最大似然法則假說與學習EM 算法簡單貝氏分類貝氏網路隨機過程馬可夫鏈蒙地卡羅馬可夫資源範例投影片教學錄影練習題考題解答訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
不偏估計式
信賴區間估計式 $\theta$ 的 $100(1-\alpha)$% 信賴區間是一個範圍，$\theta$ 在這個範圍之間的機率是 $100(1-\alpha)$% (1)\begin{align} P[L1 \le \theta \le L2] = 1-\alpha \end{align}
假如 $\theta$ 的分布符合某種分布 D，則代表我們想要找尋的算式如下： (2)\begin{align} P[L1 \le D \le L2] = 1-\alpha \end{align}
在一般的情況下，我們通常將範圍外的機率 $\alpha$ 平均分配在兩邊，因此上式相當於找尋 (3)\begin{eqnarray} && P[D \le L1] = \frac{\alpha}{2} \\ && P[D \le L2] = 1-\frac{\alpha}{2} \\ \to && P[L1 \le D \le L2] = P[D \le L2] - P[D \le L1] = 1-\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} = 1-\alpha \end{eqnarray}
習題一：累積分布表查詢 (信賴區間)1. 請從標準常態分布表中查出 $P[Z \le L1] = 0.025$ 的 L1 値。 2. 請從標準常態分布表中查出 $P[Z \le L2] = 0.975$ 的 L2 値。 3. 請從卡方分布表中查出自由度 24 的分布中符合 $P[\chi^2 \le L1] = 0.025$ 的 L1 値。 4. 請從卡方分布表中查出自由度 24 的分布中符合 $P[\chi^2 \le L2] = 0.975$ 的 L2 値。 5. 請從 T 分布表中查出自由度 10 的分布中符合 $P[T \le L1] = 0.025$ 的 L1 値。 6. 請從 T 分布表中查出自由度 10 的分布中符合 $P[T \le L2] = 0.975$ 的 L2 値。 習題二：同習題一，但改用 R 函數計算累積分布 (信賴區間)
常態分布的信賴區間標準常態分布通常寫為 Z，其信賴區間可以寫成如下算式，然後用累積常態分布表查出信賴區間。 (4)\begin{align} P[L1 \le Z \le L2] = 1-\alpha \end{align}
但是由於常態分布的兩邊對稱，因此平均分配之後就是找出 $P[L1 \le Z]=\alpha/2$ 與 $P[Z \le L2]=\alpha/2$ 的値，此時可以利用累積常態分布表進行查詢，找出 L1 與 L2 的範圍。 舉例而言，假如我們要找的是 95% 的信賴區間，那麼就可以從標準常態分布表中找到 $P[Z \le -1.96] = 0.025$, 且 $P[Z \le 1.96] = 0.0975$，於是我們知道 95% 信賴區間為 (5)\begin{align} P[-1.96 \le Z \le 1.96] = 0.0975-0.025 = 0.95 \end{align}
範例： 假如 $\theta$ 的分布符合常態分布，則代表我們要尋找的算式如下。 (6)\begin{align} P[L1 \le Z \le L2] = 1-\alpha \end{align}
但是由於常態分布的兩邊對稱，因此平均分配之後就是找出 $P[L1 \le Z]=\alpha/2$ 與 $P[Z \le L2]=\alpha/2$ 的値，此時可以利用標準常態分布表進行查詢，找出 L1 與 L2 的範圍。 舉例而言，假如我們要找的是 95% 的信賴區間，那麼就可以從標準常態分布表中找到 $P[Z \le -1.96] = 0.025$, 且 $P[Z \le 1.96] = 0.0975$，於是我們知道 95% 信賴區間為 (7)\begin{align} P[-1.96 \le Z \le 1.96] = 0.0975-0.025 = 0.95 \end{align}
參考文獻
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估計 -- 不偏估計式與信賴區間
page revision: 64, last edited: 07 Dec 2011 02:19
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