估計 -- 不偏估計式與信賴區間

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不偏估計式

  • 定義:(不偏估計式) 若 $E[\hat{\theta}] = \theta$ 則稱估計式 $\hat{\theta}$$\theta$ 的不偏估計式。

信賴區間

估計式 $\theta$$100(1-\alpha)$% 信賴區間是一個範圍,$\theta$ 在這個範圍之間的機率是 $100(1-\alpha)$%

(1)
\begin{align} P[L1 \le \theta \le L2] = 1-\alpha \end{align}

假如 $\theta$ 的分布符合某種分布 D,則代表我們想要找尋的算式如下:

(2)
\begin{align} P[L1 \le D \le L2] = 1-\alpha \end{align}

在一般的情況下,我們通常將範圍外的機率 $\alpha$ 平均分配在兩邊,因此上式相當於找尋

(3)
\begin{eqnarray} && P[D \le L1] = \frac{\alpha}{2} \\ && P[D \le L2] = 1-\frac{\alpha}{2} \\ \to && P[L1 \le D \le L2] = P[D \le L2] - P[D \le L1] = 1-\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} = 1-\alpha \end{eqnarray}

習題一:累積分布表查詢 (信賴區間)

1. 請從標準常態分布表中查出 $P[Z \le L1] = 0.025$ 的 L1 値。

2. 請從標準常態分布表中查出 $P[Z \le L2] = 0.975$ 的 L2 値。

3. 請從卡方分布表中查出自由度 24 的分布中符合 $P[\chi^2 \le L1] = 0.025$ 的 L1 値。

4. 請從卡方分布表中查出自由度 24 的分布中符合 $P[\chi^2 \le L2] = 0.975$ 的 L2 値。

5. 請從 T 分布表中查出自由度 10 的分布中符合 $P[T \le L1] = 0.025$ 的 L1 値。

6. 請從 T 分布表中查出自由度 10 的分布中符合 $P[T \le L2] = 0.975$ 的 L2 値。

習題二:同習題一,但改用 R 函數計算累積分布 (信賴區間)

> qnorm(0.025)
[1] -1.959964
> qnorm(0.975)
[1] 1.959964
> qchisq(0.025, 24)
[1] 12.40115
> qchisq(0.975, 24)
[1] 39.36408
> qt(0.025, 10)
[1] -2.228139
> qt(0.975, 10)
[1] 2.228139
> qt(0.025, 24)
[1] -2.063899
> qt(0.975, 24)
[1] 2.063899
>

常態分布的信賴區間

標準常態分布通常寫為 Z,其信賴區間可以寫成如下算式,然後用累積常態分布表查出信賴區間。

(4)
\begin{align} P[L1 \le Z \le L2] = 1-\alpha \end{align}

但是由於常態分布的兩邊對稱,因此平均分配之後就是找出 $P[L1 \le Z]=\alpha/2$$P[Z \le L2]=\alpha/2$ 的値,此時可以利用累積常態分布表進行查詢,找出 L1 與 L2 的範圍。

舉例而言,假如我們要找的是 95% 的信賴區間,那麼就可以從標準常態分布表中找到 $P[Z \le -1.96] = 0.025$, 且 $P[Z \le 1.96] = 0.0975$,於是我們知道 95% 信賴區間為

(5)
\begin{align} P[-1.96 \le Z \le 1.96] = 0.0975-0.025 = 0.95 \end{align}

範例:

假如 $\theta$ 的分布符合常態分布,則代表我們要尋找的算式如下。

(6)
\begin{align} P[L1 \le Z \le L2] = 1-\alpha \end{align}

但是由於常態分布的兩邊對稱,因此平均分配之後就是找出 $P[L1 \le Z]=\alpha/2$$P[Z \le L2]=\alpha/2$ 的値,此時可以利用標準常態分布表進行查詢,找出 L1 與 L2 的範圍。

舉例而言,假如我們要找的是 95% 的信賴區間,那麼就可以從標準常態分布表中找到 $P[Z \le -1.96] = 0.025$, 且 $P[Z \le 1.96] = 0.0975$,於是我們知道 95% 信賴區間為

(7)
\begin{align} P[-1.96 \le Z \le 1.96] = 0.0975-0.025 = 0.95 \end{align}

參考文獻

  1. 常態分佈. (2011, October 24). Retrieved from 維基百科, 自由的百科全書: http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83&oldid=18137847
  2. http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

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