機率分配 (單一隨機變數的情況)

機率統計 教學錄影 數學符號 數學基礎 排列組合 機率統計簡介 機率 機率公理 隨機變數 連續測度 單一分布 條件機率 聯合分布 貝氏定理 動差生成函數 特徵函數 機率法則匯總 離散分布 二項分布 多項分布 負二項分布 幾何分布 超幾何分布 布瓦松分布 連續分布 均勻分布 常態分布 Gamma 分布 指數分布 卡方分布 柯西分布 Weibull 分布 T 分布 F 分布 Beta 分布 多維分布 統計 抽樣 敘述統計 推論統計 中央極限定理 估計方法 單組樣本估計 兩組樣本估計 檢定方法 單組樣本檢定 兩組樣本檢定 平均値的推論 變異數的推論 無母數推論 迴歸分析 變異數分析 實驗設計 因子實驗 品質管制 時間序列 數據分類 統計定理匯總 統計情況分類 計算統計 蒙地卡羅法 最大似然法則 假說與學習 EM 算法 簡單貝氏分類 貝氏網路 隨機過程 馬可夫鏈 蒙地卡羅馬可夫 資源 範例 投影片 教學錄影 練習題 考題解答 訊息 相關網站 參考文獻 最新修改 簡體版 English

文章 練習題1：請證明期望值的三個定理 練習題2：請證明變異數的三個定理 離散分配 離散機率密度函數 (Discrete Probability Density) (1) \begin{equation} p(x) = f(x) = P[X=x] \end{equation} 離散機率密度函數的特性 (2) \begin{eqnarray} 1. && f(x) \ge 0 \\ 2. && \sum_{\forall x} f(x) = 1 \\ 3. && P(a \le X \le b) = \sum_{x \ge a}^{x \le b} f(x) \\ 4. && F(x) = P[X \le x] = \sum_{t \le x} f(t) \end{eqnarray} 說明：(3) (4) 兩是不見得有辦法定義，因為有些離散空間的元素無法比較大小。 連續分配 連續機率密度函數 (Discrete Probability Density) : p(x) 或 f(x) (3) \begin{eqnarray} 1. && f(x) \ge 0 \\ 2. && \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \\ 3. && P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx \\ 4. && F(x) = P[X \le x] = \int_{-\infty}^x f(t) dt \\ \end{eqnarray} 說明：F(x) 稱為累加機率函數 (Cumulative Distribution Function) 期望值 定義： (4) \begin{align} E[H(X)] = \sum_{x \in S} H(x) p(x) \end{align} 範例：X 的期望值 (5) \begin{align} E[X] = \sum_{x \in S} x p(x) \end{align} 定理： (6) \begin{eqnarray} 1. && E[c] = c \\ 2. && E[c X] = c E[X] \\ 3. && E[X + Y] = E[X] + E[Y] \end{eqnarray} 變異數 (Variance, 方差) 定義：([母體] 變異數) $Var(X) = \sigma^2 = E[(X-\mu)^2]$, 其中 $\mu$ 為 X 的平均值。 定義：([母體] 標準差) $\sigma$ 變異數的平方根 $\sigma$ 被稱為標準差。 定理：$\sigma^2 = Var(X) = E[X^2] - E[X]^2$ 定理： (7) \begin{eqnarray} 1. && Var(c) = 0 \\ 2. && Var(c X) = c^2 Var(X) \\ 3. && Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) ; 如果 X 與 Y 彼此獨立 \end{eqnarray} 定義：(樣本變異數) $S^2$ (8) \begin{align} S^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{n \sum_{i=1}^n X_i^2 - (\sum_{i=1}^n Xi)^2}{n (n-1)} \end{align} 注意：變異數的定義為 $\delta^2 = E[(X-\mu)^2]$，上述的樣本變異數必須除以 n-1 才是變異數的不偏估計量，而不是除以 n。 定義：(樣本標準差) 上列算式中的 S 稱為樣本標準差。 轉換定理 定理：(轉換定理) $p_Z(t) = p_X(g^{-1}(t)) \| \frac{d g^{-1}(t)}{d t} \|$ ; 其中 Z = g(X), g 必須是單調函數 (一直上升或一直下降) 證明：如果 g 是單調上升函數 (下降的情況雷同)。 (9) \begin{eqnarray} p_Z(t) &=& \frac{d}{db} P[Z \in (a,b]] = \frac{d}{db} P[X \in (g^{-1}(a),g^{-1}(b)]] \\ &=& \frac{d}{db} \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} p_X(x) dx = \frac{d}{dt} |_b * p_X(g^{-1}(b)) \end{eqnarray} R 的操作 > x [1] 1 2 3 4 5 6 > mean(x) [1] 3.5 > sum(x)/6 [1] 3.5 > xx = x*x > xx [1] 1 4 9 16 25 36 > mean(x) [1] 3.5 > mean(xx) [1] 15.16667 > x=1:6 > y=2:7 > x [1] 1 2 3 4 5 6 > y [1] 2 3 4 5 6 7 > mean(x+y) [1] 8 > mean(x) [1] 3.5 > mean(y) [1] 4.5 > x [1] 1 2 3 4 5 6 > var(x) [1] 3.5 > x-mean(x) [1] -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 > mean(x-mean(x)) [1] 0 > ?var starting httpd help server ... done > d = x-mean(x) > d [1] -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 > mean(d*d) [1] 2.916667 > d*d [1] 6.25 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 > mean(d*d) [1] 2.916667 > x [1] 1 2 3 4 5 6 > x*x [1] 1 4 9 16 25 36 > mean(x*x) [1] 15.16667 > mean(x*x)-mean(x)*mean(x) [1] 2.916667 > Facebook 留言 Facebook Wikidot Post preview: Close preview or Sign in as Wikidot user (will not be published) - + Help: wiki text quick reference 授權 本網頁的作者、授權與引用方式 作者 陳鍾誠，於金門大學資訊工程系，電子郵件：wt.ude.uqn|ccc#wt.ude.uqn|ccc，網站：http://ccckmit.wikidot.com。 授權 本文採用創作共用 (Creative Common) 3.0 版的 姓名標示─非商業性─相同方式分享 授權條款，歡迎轉載或修改使用，但若做為商業使用時必須取得授權，引用本文時請參考下列格式。 中文版 (APA格式) 陳鍾誠 (24 Sep 2011 00:42)，(網頁標題) 機率分配 (單一隨機變數的情況)，(網站標題) 陳鍾誠的網站，取自 http://ccckmit.wikidot.com/st:distribution ，網頁修改第 39 版。 英文版 (APA格式) Chung-Chen Chen (24 Sep 2011 00:42), Retrieved from http://ccckmit.wikidot.com/st:distribution , Page Revision 39.