二項分布

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文章 二項分布 (Binomial distribution) (1) \begin{align} f(x) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n-x} \end{align} 意義：dbinom(x; n, p)：在 n 次柏努力試驗中有 x 次成功的機率 (已知單次試驗成功機率為 p)。 R 的公式：dbinom(x; n, p) = p(x) = choose(n,x) p^x (1-p)^(n-x) R 函數：binom(size=n:樣本數, prob=p:成功機率) http://stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/Binomial.html 二項定理 (2) \begin{align} (a+b)^n = \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} a^k b^{n-k} \end{align} 特性 (3) \begin{eqnarray} 1. && E(X) = \mu = np \\ 2. && Var(X) = \sigma^2 = np (1-p) = npq \end{eqnarray} 動差生成函數 (4) \begin{equation} m_x(t) = ((1-p)+pe^t)^n = (q+pe^t)^n \end{equation} R 程式範例一：二項分布的圖形 > n=10; p=0.3; k=seq(0,n) > plot(k, dbinom(k,n,p), type='h', main='dbinom(0:20, n=10, p=0.3)', xlab='k') > R 程式範例二：(定理) 常態分配可用來逼近二項分布 [[math]]binom(n, p) \rightarrow norm(np, np(1-p)) \; ; \; 假如 n 夠大 (n*min(p, 1-p) > 5)[[/math]] 原始程式： op=par(mfrow=c(2,2)) n=3; p=0.3; k=seq(0,n) plot(k, dbinom(k,n,p), type='h', main='dbinom(n=3, p=0.3)', xlab='k') curve(dnorm(x,n*p,sqrt(n*p*(1-p))), add=T, col='blue') n=5; p=0.3; k=seq(0,n) plot(k, dbinom(k,n,p), type='h', main='dbinom(n=5, p=0.3)', xlab='k') curve(dnorm(x,n*p,sqrt(n*p*(1-p))), add=T, col='blue') n=10; p=0.3; k=seq(0,n) plot(k, dbinom(k,n,p), type='h', main='dbinom(n=10, p=0.3)', xlab='k') curve(dnorm(x,n*p,sqrt(n*p*(1-p))), add=T, col='blue') n=100; p=0.3; k=seq(0,n) plot(k, dbinom(k,n,p), type='h', main='dbinom(n=100, p=0.3)', xlab='k') curve(dnorm(x,n*p,sqrt(n*p*(1-p))), add=T, col='blue') 輸出圖形： R 程式範例三 > x = rbinom(100000, 100, 0.8) > hist(x, nclas=max(x)-min(x)+1) > R 程式範例四 > y <- rbinom(50, 25, .4) > m1 <- mean(y) > m2 <- sum(y) / 25 > y [1] 12 9 9 9 12 11 10 11 5 7 8 7 16 6 12 13 9 12 9 13 7 12 15 8 [25] 9 7 10 4 10 10 9 10 13 8 10 14 8 11 11 10 10 9 7 13 5 5 11 13 [49] 9 8 > m1 [1] 9.72 > m2 [1] 19.44 > m3 <- sum ( (y-m1)^2 ) / 50 > m3 [1] 6.8816 > 說明： y 中的每個數字，代表模擬投擲 25 次白努力試驗後，成功的次數有幾次。因此 rbinom(50, 25, .4) 總共進行了 50*25 次白努力試驗。 參考 Wikipedia:二項分佈 Wikipedia:Binomial_distribution Facebook 留言 Facebook Wikidot Post preview: Close preview or Sign in as Wikidot user (will not be published) - + Help: wiki text quick reference 授權 本網頁的作者、授權與引用方式 作者 陳鍾誠，於金門大學資訊工程系，電子郵件：wt.ude.uqn|ccc#wt.ude.uqn|ccc，網站：http://ccckmit.wikidot.com。 授權 本文採用創作共用 (Creative Common) 3.0 版的 姓名標示─非商業性─相同方式分享 授權條款，歡迎轉載或修改使用，但若做為商業使用時必須取得授權，引用本文時請參考下列格式。 中文版 (APA格式) 陳鍾誠 (28 Aug 2011 07:39)，(網頁標題) 二項分布，(網站標題) 陳鍾誠的網站，取自 http://ccckmit.wikidot.com/st:binom ，網頁修改第 72 版。 英文版 (APA格式) Chung-Chen Chen (28 Aug 2011 07:39), Retrieved from http://ccckmit.wikidot.com/st:binom , Page Revision 72.