人工智慧中的機率統計範例 -- 牙醫判斷牙痛問題？

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文章 本問題來自人工智慧的經典教科書 「Artificial Intelligence: A Modern Approach」第三版，475 頁。 問題描述：當病人來看牙醫時，該病人可能有蛀牙或沒蛀牙，也可能有牙痛或沒有牙痛，而牙醫可能會找到牙痛的原因或找不到。 因此有下列三個隨機變數 X:(蛀) 蛀牙與否 (Cavity) Y:(痛) 牙痛與否 (Toothache) Z:(找) 是否找到痛的牙 (Catch) 假如這個問題個統計機率都已經知道了，如下表所示。 牙痛 (Y=1) 不牙痛 (Y=0) 找到 (Z=1) 找不到 (Z=0) 找到 (Z=1) 找不到 (Z=0) 蛀牙(X=1) 0.108 0.012 0.072 0.008 沒蛀牙 (X=0) 0.016 0.064 0.144 0.576 如果將這個表格寫成一整排，那麼將會以下列機率表格顯示。 蛀 X 痛 Y 找 Z P(X,Y,Z) 0 0 0 0.576 0 0 1 0.144 0 1 0 0.064 0 1 1 0.016 1 0 0 0.008 1 0 1 0.072 1 1 0 0.012 1 1 1 0.108 問題 習題1：請計算 P(沒痛) = P(Y=0) = ? 習題2：請計算 P(找到 | 牙痛) = ? 習題3：請問這是一個合理的機率分布嗎？ 習題4：請計算 P(Z=1 | X=1) = ? 習題5：請計算 P(Z=1, Y=1) = ? 習題6：請計算 P(蛀 | 找到), P(蛀), P(找到), P(找到 | 蛀) ，然後驗證下列貝氏定理是否成立。 (1) \begin{align} P(找到|蛀) = P(蛀|找到) \frac{P(找到)}{P(蛀)} \end{align} 解答 由於 R 的 陣列是用以行為主的順序 (Column Major Order)，因此沒辦法直接與上列的表格對起來，請看下列檔案中的說明 http://cran.r-project.org/doc/manuals/R-lang.pdf 2.2.2 The dim attribute is used to implement arrays. The content of the array is stored in a vector in column-major order and the dim attribute is a vector of integers specifying the respective extents of the array. R ensures that the length of the vector is the product of the lengths of the dimensions. The length of one or more dimensions may be zero. 所以我們必須先將真值表改為以行為主的方式，改寫後如下表所示。 蛀 X 痛 Y 找 Z P(X,Y,Z) 0 0 0 0.576 1 0 0 0.008 0 1 0 0.064 1 1 0 0.012 0 0 1 0.144 1 0 1 0.072 0 1 1 0.016 1 1 1 0.108 而且 R 的陣列是從 1 開始算的，不像 C 語言是從 0 開始算的，因此還必須將上表修改如下： 蛀 X 痛 Y 找 Z P(X,Y,Z) 1 1 1 0.576 2 1 1 0.008 1 2 1 0.064 2 2 1 0.012 1 1 2 0.144 2 1 2 0.072 1 2 2 0.016 2 2 2 0.108 > p <- array(c(0.576, 0.008, 0.064, 0.012, 0.144, 0.072, 0.016, 0.108),c(2,2,2)) > p , , 1 [,1] [,2] [1,] 0.576 0.064 [2,] 0.008 0.012 , , 2 [,1] [,2] [1,] 0.144 0.016 [2,] 0.072 0.108 > p[1,1,1] [1] 0.576 > p[2,1,1] [1] 0.008 > p[1,2,1] [1] 0.064 > p[2,2,1] [1] 0.012 > p[1,1,2] [1] 0.144 > p[2,1,2] [1] 0.072 > p[1,2,2] [1] 0.016 > p[2,2,2] [1] 0.108 > dimnames(p)[[1]] = c("沒蛀", "蛀") > dimnames(p)[[2]] = c("沒痛", "痛") > dimnames(p)[[3]] = c("沒找", "找") > p , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 0.576 0.064 蛀 0.008 0.012 , , 找 沒痛 痛 沒蛀 0.144 0.016 蛀 0.072 0.108 解答1：P(沒痛) = 0.8 計算過程： > p[,"沒痛",] 沒找 找 沒蛀 0.576 0.144 蛀 0.008 0.072 > sum(p[,"沒痛",]) [1] 0.8 解答2：P(找到 | 牙痛) = 0.62 > p[,,"找"] 沒痛 痛 沒蛀 0.144 0.016 蛀 0.072 0.108 > sum(p[,,"找"]) [1] 0.34 > sum(p[,"痛","找"]) [1] 0.124 > sum(p[,"痛","找"])/sum(sum(p[,"痛",])) [1] 0.62 解答3：請問這是一個合理的機率分布嗎？ (是的，因為總和為 1，而且每個機率直都介於 0 到1之間) > sum(p) [1] 1 > 0<=p<=1 錯誤: unexpected '<=' in "0<=p<=" > 0<=p , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE , , 找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE > p<=1 , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE , , 找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE > 0<=p & p <=1 , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE , , 找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE 解答4：請計算 P(Z=1 | X=1) = 0.9 > sum(p[2,,2])/sum(p[2,,]) [1] 0.9 解答5：請計算 P(Z=1, Y=1) = 0.124 > p[,2,2] 沒蛀 蛀 0.016 0.108 > sum(p[,2,2]) [1] 0.124 解答6：請計算 P(蛀 | 找到), P(蛀), P(找到), P(找到 | 蛀) ，然後驗證下列貝氏定理是否成立。 P(蛀 | 找到) = p(找到|蛀) * p(蛀)/p(找到) 說明： P(蛀 | 找到) = 0.5294118, P(蛀)=0.2, P(找到)=0.34, P(找到 | 蛀)=0.9 P(蛀 | 找到) = 0.5294118 = 0.9 * 0.2/0.34 = = p(找到|蛀) * p(蛀)/p(找到) > pab = sum(p["蛀",,"找"])/sum(p[,,"找"]) ; pab = P(蛀 | 找到) > pba = sum(p["蛀",,"找"])/sum(p["蛀",,]) ; pba = P(找到 | 蛀) > pa = sum(p["蛀",,]) ; pa = P(蛀) > pb = sum(p[,,"找"]) ; pb = P(找到) > pab [1] 0.5294118 > pba [1] 0.9 > pa [1] 0.2 > pb [1] 0.34 > pba*pa/pb [1] 0.5294118 > pab-pba*pa/pb [1] 0 > 所以 p(蛀|找) = sum(p["蛀",,"找"])/sum(p[,,"找"]) = pab = pba * pa / pb = p(找|蛀) * p(蛀)/p(找) = sum(p["蛀",,"找"])/sum(p[,,"蛀"])* sum(p[,,"蛀"])/ sum(p["找",,]) 完整的操作過程 > p <- array(c(0.576, 0.008, 0.064, 0.012, 0.144, 0.072, 0.016, 0.108),c(2,2,2)) > p , , 1 [,1] [,2] [1,] 0.576 0.064 [2,] 0.008 0.012 , , 2 [,1] [,2] [1,] 0.144 0.016 [2,] 0.072 0.108 > p[1,1,1] [1] 0.576 > p[2,1,1] [1] 0.008 > p[1,2,1] [1] 0.064 > p[2,2,1] [1] 0.012 > p[1,1,2] [1] 0.144 > p[2,1,2] [1] 0.072 > p[1,2,2] [1] 0.016 > p[2,2,2] [1] 0.108 > dimnames(p)[[1]] = c("沒蛀", "蛀") > dimnames(p)[[2]] = c("沒痛", "痛") > dimnames(p)[[3]] = c("沒找", "找") > p , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 0.576 0.064 蛀 0.008 0.012 , , 找 沒痛 痛 沒蛀 0.144 0.016 蛀 0.072 0.108 > p[,"沒痛",] 沒找 找 沒蛀 0.576 0.144 蛀 0.008 0.072 > sum(p[,"沒痛",]) [1] 0.8 > p[,,"找"] 沒痛 痛 沒蛀 0.144 0.016 蛀 0.072 0.108 > sum(p[,,"找"]) [1] 0.34 > sum(p[,"痛","找"]) [1] 0.124 > sum(p[,"痛","找"])/sum(sum(p[,"痛",])) [1] 0.62 > sum(p) [1] 1 > 0<=p<=1 錯誤: unexpected '<=' in "0<=p<=" > 0<=p , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE , , 找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE > p<=1 , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE , , 找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE > 0<=p & p <=1 , , 沒找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE , , 找 沒痛 痛 沒蛀 TRUE TRUE 蛀 TRUE TRUE > sum(p[2,,2])/sum(p[2,,]) [1] 0.9 > p[,2,2] 沒蛀 蛀 0.016 0.108 > sum(p[,2,2]) [1] 0.124 > pab = sum(p["蛀",,"找"])/sum(p[,,"找"]) > pba = sum(p["蛀",,"找"])/sum(p["蛀",,]) > pa = sum(p["蛀",,]) > pb = sum(p[,,"找"]) > pab [1] 0.5294118 > pba [1] 0.9 > pa [1] 0.2 > pb [1] 0.34 > pba*pa/pb [1] 0.5294118 > pab-pba*pa/pb [1] 0 > Facebook 留言 Facebook Wikidot Post preview: Close preview or Sign in as Wikidot user (will not be published) - + Help: wiki text quick reference 授權 本網頁的作者、授權與引用方式 作者 陳鍾誠，於金門大學資訊工程系，電子郵件：wt.ude.uqn|ccc#wt.ude.uqn|ccc，網站：http://ccckmit.wikidot.com。 授權 本文採用創作共用 (Creative Common) 3.0 版的 姓名標示─非商業性─相同方式分享 授權條款，歡迎轉載或修改使用，但若做為商業使用時必須取得授權，引用本文時請參考下列格式。 中文版 (APA格式) 陳鍾誠 (05 Oct 2011 08:54)，(網頁標題) 人工智慧中的機率統計範例 — 牙醫判斷牙痛問題？，(網站標題) 陳鍾誠的網站，取自 http://ccckmit.wikidot.com/st:bayesexai ，網頁修改第 26 版。 英文版 (APA格式) Chung-Chen Chen (05 Oct 2011 08:54), Retrieved from http://ccckmit.wikidot.com/st:bayesexai , Page Revision 26.