機率的公理系統
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機率的公理(1)\begin{eqnarray} (1) & & P(S) = 1 \\ (2) & & P(A) \ge 0 \\ (3) & & P(A1 \cup A2) = P(A1) + P(A2) \; ; \; if \; A1 \cap A2 = \emptyset \\ \end{eqnarray}
凡氏圖 (Venn Diagram)![]() 請證明以下定理(2)\begin{eqnarray} (1) & & P(\emptyset) = 0 \\ (2) & & P(A') = 1-P(A) \\ (3) & & P(A1 \cup A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 \cap A2) \\ \end{eqnarray}
證明定理 (1) :P(∅) = 0 的證明
定理 (2) :P(A') = 1-P(A) 的證明
定理 (3) :P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2) 的證明
另一種機率公理體系的寫法柯莫果洛夫 (Kolmogorove) 公理體系(3)\begin{eqnarray} 1. && 0 \leq P(a) \leq 1 \\ 2. && P(true) = 1, p(false) = 0 \\ 3. && P(a \vee b) = P(a) + P(b) - P(a \wedge b) \end{eqnarray}
範例:利用柯氏公理體系的進行證明 (4)\begin{eqnarray} P(a \vee -a) & =& P(a)+P(-a) + P(a \wedge -a) \\ P(true) & = & P(a) + P(-a) - P(false) \\ 1 & = & P(a) + P(-a) \\ P(-a) & = & 1-P(a) \end{eqnarray}
條件機率條件獨立的定義 (5)\begin{eqnarray} 1. && P(a \wedge b) = P(a) P(b) \\ 2. && P(X \wedge Y) = P(X) P(Y) \end{eqnarray}
邊緣化 (加總消去) (因為保險精算師會將此數字寫在該夜的邊緣上) (6)\begin{eqnarray} P(Y) = \sum_{z} P(Y, z) \end{eqnarray}
正規化 (或稱規一化, Normalization) (7)\begin{eqnarray} P(A | b) = \alpha P(A , b) \end{eqnarray}
其中的 $\alpha$ 稱為規一化系數 |
page revision: 34, last edited: 02 Nov 2011 00:27
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