微積分

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導數

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

(1)
\begin{align} f'(x_0)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}
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微分

微分學是通過導數和微分來研究曲線斜率、加速度、最大值和最小值的一門學科。

微分意味著取一個無窮小量。單從一個變數的角度,微分毫無意義,它的作用在於描述兩個變數之間的變化關係,通常用兩個變數的微分商的函數來描述一個函數的變化趨勢,也稱為「微商」或「求導」,通常記作dy/dx。

積分

積分是求面積的函數,也就是計算 f(x) 從 x=a 到 b 之間的面積,記為

(2)
\begin{align} \int_a^b f(x)\,dx \end{align}

積分是微分的反函數,也就是假如下列算式成立。

(3)
\begin{align} F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,. \end{align}

那麼下列算式必然也成立。

(4)
\begin{equation} F'(x) = f(x) \end{equation}

簡而言之,微分與積分互為反運算,就像乘法是除法的反運算一般,其關係如下所示。

(5)
\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) \end{align}

積分的圖形若以黎曼式積分法來逼近的話,可以用下圖表示。

220px-Riemann.gif

微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。定理的第一部分,有時稱為微積分第一基本定理,表明不定積分是微分的逆運算。定理的第二部分,有時稱為微積分第二基本定理,表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。這一部分有很多實際應用,這是因為它大大簡化了定積分的計算。

我的評論

我知道乘法是除法的反運算,這個小學生就知道了。但是微分是積分的反運算,這點很難想,很多大學生也不知道。

到底怎麼理解這件事情呢?我試圖做一個解釋。

如果觀察下列情形:

(6)
\begin{eqnarray} && \int_a^x 1\, dt\, = x \qquad \leftrightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x = 1 \\ && \\ && \int_a^x x\, dt\, = \frac{x^2}{2} \qquad \leftrightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{x^2}{2} = x \\ && \\ && ... \\ \end{eqnarray}

那麼這個情況似乎是真的。

但是數學不能只是「看來像真的」,不過這是個好的開始,我們必須有更進一步的直覺。

如果用極限分析法,那麼我們可以將積分運算,也就是計算一小塊的積分面積看成如下公式:

(7)
\begin{align} F(x+\Delta x)-F(x) = f(x) \Delta x \end{align}

既然如此,那麼對這個算式再進行微分之後,當然就會變成如下算式而還原了啦,終究還是乘法與除法的關係啊。

(8)
\begin{align} \frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{f(x) \Delta x}{\Delta x} = f(x) \end{align}

授權

本文修改自維基百科,使用時請遵守其 CC-by-sa 3.0 授權。

參考文獻

  1. 維基百科:微積分學
  2. 維基百科:導數
  3. 維基百科:積分
  4. 維基百科:黎曼積分
  5. 維基百科:數值積分
  6. 維基百科:微積分基本定理
  7. 維基百科:分類:微積分
  8. 維基百科:高斯積分

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