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在複數平面中,虛數所扮演的角色非常奇特,讓我們看看以下的虛數特性:

(1)
\begin{eqnarray} i^0 &=& 1\\ i^1 &=& i \\ i^2 &=& -1 \\ i^3 &=& -i \\ i^4 &=& 1 \\ i^5 &=& i \\ i^6 &=& -1 \\ i^7 &=& -i \\ \end{eqnarray}

您可以看到虛數自我相乘時,會產生每四次就循環出現的情況,如果我們將這個乘法畫在複數平面上,就會看到每次乘法都讓座標旋轉 90 度 ($\pi/2$),而第四次的 $i^4$ 又回到了起始點 1。

沿著這個觀察推論下去,您可能會想到一個問題,虛數 i 的 1/2 次方到底是多少呢?

根據歸納性的猜測,既然每自乘一次 i 就會轉 90 度,那每自乘半次 i,也就是 $i^{1/2}$ ,那應該會轉 45 度,也就是:

(2)
\begin{align} i^{1/2} = cos(\pi/4) + i*sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}

我們可以初步驗證看看這個結果是否正確。

假如我們將上式平方,那麼左右兩邊是否還相等呢?

(3)
\begin{eqnarray} 左邊 && (i^{1/2} )^2 = i^{1/2 * 2} = i \\ 右邊 && (\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} )^2 = 1/2 + 2*\frac{1}{2} i - 1/2 = i \\ \end{eqnarray}

經由上面算式驗證,我們發現這是合理的想法。

而這個結果也正是虛數的重要之處,虛數代表複數平面上的圓周運動,每乘一次 i 就會旋轉九十度。

在此,如果我們利用泰勒展開式,就可以發現一個重要的定理,是尤拉 (Euler) 所發現的,所以稱為尤拉定理。

(4)
\begin{eqnarray} e^{i x} = cos(x) + i*sin(x) \end{eqnarray}

根據類似實數的推論,我們可以輕易的套出下列自然指數轉換方法:

(5)
\begin{eqnarray} i^x &=& e^{x * ln(i) } \\ &=& e^{x*(ln|i| + i * arg (i))} \\ &=& e^{x*(ln(1) + i * (\pi/2 + 2k \pi)) } \\ &=& e^{x*ln(1)}*e^{i * x * (\pi/2 + 2k \pi)} \\ &=& 1 * e^{i * x * (\pi/2 + 2k \pi)} \\ &=& e^{i x (\pi/2 + 2k \pi)} \end{eqnarray}

註:複數 Z 如果寫成極座標形式可以用 $Z=r * e^{i x + 2 k \pi}$, 如果取 log (或 ln),則通常規定為 $log(Z) = ln|Z| + i*arg(Z)$,其中 $arg(Z) = x + 2 k \pi$

尤拉定理

因為尤拉定理中的 x 代表角度,所以通常我們用符號 $\theta$ 表示,改寫如下:

(6)
\begin{eqnarray} e^{i \theta} = cos(\theta) + i*sin(\theta) \end{eqnarray}

$\theta = \pi$ 時,可得到下列算式:

(7)
\begin{eqnarray} e^{i \pi} + 1 = 0 \end{eqnarray}

也就是 $e^{i \pi} = -1$

參考文獻

  1. 棣美弗定理與 Euler 公式, 林琦焜
  2. 作者: scorpioeric (常行一式) 看板: Math, 標題: Re: [問題] i的i次方?, 時間: Wed Aug 2 00:23:49 2006

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