尤拉數e在微積分中的角色與用途
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相關文章簡介尤拉數 e 是數學中，與圓周率幾乎同樣重要的一個數字，然而、尤拉數卻並沒有像圓周率這樣清楚的直覺意義，而且其用途與表現非常多樣化，這使得一般學生無法掌握到尤拉數的意義，本文將列出尤拉數 e 的幾種不同表示法，並說明其這些表示法之間的關係，以使讀者了解尤拉數 e 的數學價值。 尤拉數 e 的定義方式尤拉數 e 是一個很難掌握的數字，但卻應用很廣，其表現出來的形式大致有下列三種： (1)\begin{align} e = \lim_{n \rightarrow \infty} 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!} \end{align}
(2)
\begin{align} e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n \end{align}
(3)
\begin{align} \int_1^e \frac{1}{x} dx = 1 \end{align}
尤拉數 e 的特性1. 尤拉函數 $e^x$ 是微分運算的特徵值. (4)\begin{align} \frac{d}{dx} e^x = e^x \end{align}
證明： 根據以上定義 (2)，只要將 n 改寫為 $\frac{1}{\Delta x}$，就可以得到下列代換式 (5)\begin{eqnarray} e &=& \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n &=& \lim_{\Delta x \to 0} (1+\Delta x)^{1/\Delta x} \end{eqnarray}
所以 (6)\begin{eqnarray} e^{\Delta x} = 1+\Delta x ; \end{eqnarray}
故 (7)\begin{eqnarray} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} = 1 \end{eqnarray}
因此 (8)\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} e^x &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{(x+\Delta x)} - e^x}{\Delta x} \\ &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \\ &=& e^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \\ &=& e^x * 1 \\ &=& e^x \end{eqnarray}
2. 尤拉函數 $e^x$ 的泰勒級數有無窮多項，但卻很簡單. 根據前一個特性，也就是公式 (4)，我們可以用泰勒展開始將 $e^x$ 進行微分，會發現其泰勒級數如下： (9)\begin{align} e^x = 1+\frac{1}{1!} x + \frac{2}{2!} x^2 + ... \frac{n}{n!} x^n+ ... \end{align}
3. 尤拉複函數 $e^{i x}$ 可分解為三角函數 $e^{i x}$ 的泰勒級數，是傅立葉轉換的基礎，因為它可以被分解為 sin() 與 cos() 的組合。 (10)\begin{equation} e^{i x} = cos(x) + i*sin(x) \end{equation}
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page revision: 38, last edited: 11 Sep 2012 07:47
您好,
很棒的文章!
想請問公式(5) 是不是筆誤了?
參數的分子是否都為 1 才對呢?
謝謝
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