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群結構

a X b 為一個二元運算式,其中的元素 a, b 的定義域都是集合 S,而 X 則為某個二元運算。

在這樣的代數結構中,有下列幾種可能的特性。

(1). 封閉性:$a \in S,b \in S \rightarrow a X b \in S$
(2). 結合性:$(a X b) X c = a X (b X c)$
(3). 單位元素:$a X u = a = u X a$
(4). 反元素:$a^{-1} X a = u$

滿足 (1), (2), (3), (4) 等四條規則的代數結構 (二元運算體系) (S,X),稱為群 (Group)。

(5). 交換性:$a X b = b X a$

滿足第 (5) 條的群,稱為阿貝爾群 (Abel Group)。

範例:整數加法 (N, +),整數乘法 mod p, p 為質數 (N mod p, ×)、實數加法 (R, +)、乘法 (R, ×)。

環結構

環:包含兩個二元運算 (+) 和 (×),其中 (+) 結構具有群的特性, (×) 結構則具有 (1), (2) 兩條特性。

其加法(+)單位元寫成0,而其a的加法逆元則寫成-a。

範例:整數結構 (N, +, ×)

體結構

體:是一種環,除環的基本特性之外,還包含 (3), (4) 兩個特性,也就是 (+) 和 (×) 兩者都具有群的特性 (但 0 的乘法元素例外),而且滿足第 (5) 條。

其乘法 (×) 單位元素寫成 1,而其 a 的乘法逆元則寫成 $a^{-1}$
都是體的例子。

範例:有理數 (Q, +, ×)、實數 (R, +, ×) 和複數 (C, +, ×)。

參考文獻

  1. 维基百科:代數

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