當我還是個學生時，我總是困惑著如何應付老師的考試，其中一個重要的數學困擾是，老師要我們「證明」某個運算式。

最大的問題不在於我不會「證明」，因為在很多科目的證明題當中，我也都「答對了」，但是這種答對總是讓我感到極度的沒有把握，因為有時老師說「這樣的證明是對的」，但有時卻說「這樣的證明是錯的」。

更神奇的是，老師的證明永遠都是對的，他們可以突然加入一個「推論」，而這個推論的根據好像之前沒有出現過，然後他們說：「由此可證」、「同理可證」….。

直到有一天，我終於懂了。

因為課堂上老師的證明往往不是「嚴格的證明」，因為嚴格的證明通常「非常的困難」，每個證明都可以是一篇論文，甚至在很多論文當中的證明也都不是嚴格的。

所以在課堂上，老師總是可以天外飛來一筆的，跳過了某些「無聊的步驟」，奇蹟式的證明了某些定理，而這正是我所以感到困擾的原因。

一般的證明

一般而言，日常生活中的證明，通常是不嚴格的。

舉例來說，我可以「證明」某人殺了死者，因為殺死死者的兇刀上有「某人」的指紋。

但是這樣的證明並不嚴格，因為有很少的可能性是「某人摸過兇刀、但是並沒有殺人」。

所以我們總是可以看到那個「外表看似小孩，智慧卻過於常人」的「名偵探柯南」，總是天外飛來一筆的「證明」了某人是兇手，這種證明與數學證明可是完全不同的。

嚴格的證明

數學的證明通常不能是「機率式」的，例如：「我證明他 99% 殺了人」，這樣的證明稱不上是嚴格的證明。

嚴格的證明也並非結果一定要是 100% 的正確 (當然也不是說結果不正確)，真正的證明是一種過程，而不是結果。

怎麼說呢？

數學其實很像程式領域的演算法，或者就像是電腦的運作過程，當我們設計出一顆 CPU 之後，你必須用該 CPU 的指令撰寫出某些函數，以便完成某個程式。

那麼，數學的 CPU 是甚麼呢？

答案是「公理系統」！

只有透過公理系統，經由某種演算方式，計算出待證明定理在任何情況下都是真的，這樣才算是證明了該定理。

這些公理系統其實就是數學的 CPU 指令集。

布林代數大概是數學當中最簡單的系統了，因為布林代數的値只有兩種—「真與假」 (或者用 0 與 1 代表)。

為了說明嚴格的數學證明是如何進行的，我們將從布林代數的公理系統 (CPU?) 開始，說明如何證明布林代數的某些定理，就好像是如何用指令集撰寫程式一樣。

布林邏輯

對於單一變數 x 的布林系統而言，x 只有兩個可能的值 (0 或 1)。

對於兩個變數 x, y 的布林系統而言，(x, y) 的組合則可能有 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 四種。

對於三個變數 x, y, z 的布林系統而言，(x, y, z) 的組合則可能有 (0,0, 0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0, 0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) 八種。

基本的布林邏輯閘有三種，AND (且), OR (或), NOT (反)，在布林代數當中，通常我們用減號 (-) 代表 NOT，用 & 代表AND，用 | 代表 OR。

NOT 閘的真值表如下所示。

AND 閘的真值表如下所示。

OR 閘的真值表如下所示。

假如我們想知到某個邏輯式，例如 (-x | y) 的真值表，只要透過列舉的程序就可以檢查完畢。

接著，我們就可以定義一些公理系統，這些「公理系統」就像是數學推理的指令集，讓我們可以推論出哪些邏輯式在這個公理系統下是真的 (定理)，哪些邏輯式這個公理系統下不一定是真的。

公理系統 1

舉例而言，假如我們制定了一個公理系統如下所示。

x -x |y

那麼，我們就可以列出這個布林系統的真值表。

在上述真值表中，凡是無法滿足公理系統的列，就代表該項目違反公理系統，因此在此公理系統下不是真的，可以被刪除。

於是滿足該公理系統的項目只剩下了一個。

在這個滿足公理系統的真值表當中，我們可以看到 y 只能是 1，也就是 y 其實是個定理。

公理系統 2

假如我們定義了以下的公理系統：

-p | q p | r

那麼我們可以列出真值表如下：

當我們將不符合公理系統的項目拿掉之後，以上的真值表就只剩以下這些項目。

此時，如果我們檢查這些項目中 q|r 的真值表，會發現 q|r 為真者其結果全部為 1 ，因此 q|r 在這個公理系統下是真理。

但是如果我們檢查這些項目中 p|q 的真值表，會發現有一項為 0 ，因此 p|q 在這個公理系統下並非真理。

所以 q|r 在此公理系統下是一個定理，但 p|q 則不是定理。

推論法則

現在，我們已經具備了足夠的基本知識，可以用來說明何謂嚴格的數學證明了。

假如我們將公理系統 2 中推論出 q|r 的程序，變成一條明文的規則，如下所示：

(-P | Q) & (P | R) => (Q|R)

那麼，我們就可以用這樣的規則進行推論，這個推理方式乃是 Robinson 所提出的，稱為 Resolution 法則。

於是我們可以根據這條規則，推論出某個邏輯公理系統下的定理，舉例而言，假如有個公理系統如下所示。

x | -y -x | z -(-y | z) | w

則我們可以利用 Resolution 法則，進行推論如下：

(x | -y) & (-x | z) => (-y|z) ; 令 P=x, Q=-y, R=z (-y|z) & (-(-y | z) | w) => w ; 令 P=(-y|z), Q=w, R=0

如此我們就可以不需要依靠真值表，直接從公理系統開始，透過嚴格的計算程序，推論出該公理系統中的定理了。

這種證明方式，就是一種為嚴格的數學證明。

這種證明所遵循的，乃是一種 [公理/推論/定理1/推論/定理2/…] 的方式，這種方式讓證明變成了一種計算過程，是可以寫成電腦程式的，這種證明方式乃是一種嚴格可計算的證明方式。

相關討論

1. 為甚麼國中的數學證明是從「歐式幾何」開始教，而不從「布林代數」開始教呢？
   • https://www.facebook.com/ccckmit/posts/10151056707046893

參考文獻

1. 數學中的公理化方法 (上) 吳開朗
   • http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d171/17111.pdf
2. 數學中的公理化方法 (下) 吳開朗
   • http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d172/17203.pdf

後記

大部分的數學系統，都希望能達到這樣嚴格的程度，但可惜的是，並非所有數學系統都能完全達到這樣嚴格的程度。舉例而言：歐氏幾何可以說是公理化的早期經典之作，但其中仰賴圖形直覺的證明過程仍然有很多，並非完全達到公理化。而微積分等數學的嚴格公理化也一直是數學家還在研究的問題。

但對公理化數學體系最精彩的一段歷史是，希爾伯特對公理化的問題與歌德爾不完備定理對數學可完全公理化的反證，以下是這段歷史的簡要說明。

20 世紀的大數學家 Hilbert 曾經於 1900 年提出的 23 個數學問題中提到一個問題，就是「是否能為數學系統建立證明法則，讓數學證明可以完全被計算出來」，後來歌德爾 (Godel) 在 1926 年證明了一階邏輯的完備定理，讓大家看到了一線曙光，但歌德爾在 1929 年又提出了一個數論系統的不完備定理，證明了有些定理無法透過計算程序證明。

歌德爾的研究，後來在電腦領域，被圖靈 (Turing) 重新詮釋了一遍，圖靈證明了「停止問題」是電腦無法 100% 正確判定的問題，這也開啟了後來計算理論的研究之河。圖靈也因此而成為計算理論領域的第一人，所以 ACM 這個組織才會將電腦界的最重要獎項稱為「圖靈獎」(Turing Award)。

by ccckmit

證明請參考：勾股定理/维基百科

和角公式

和角公式：歐氏幾何證明法

證明：sin(a+b) =sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

Python 的三角函數操作

>>> a = pi/3 >>> b = pi/4 >>> c = pi/6 >>> sin(a) 0.8660254037844386 >>> sin(b) 0.70710678118654746 >>> sin(c) 0.49999999999999994 >>> sin(a)*sin(a)+cos(a)*cos(a) 1.0 >>> sin(b)*sin(b)+cos(b)*cos(b) 1.0 >>> sin(c)*sin(c)+cos(c)*cos(c) 1.0 >>> b+c 1.308996938995747 >>> sin(b+c) 0.9659258262890682 >>> sin(b)*cos(c)+sin(c)*cos(b) 0.9659258262890682 >>>

參考文獻

1. 勾股定理/维基百科
2. 數學王子:畢氏定理
   • http://euler.tn.edu.tw/think8.htm
3. 用圖解證明公式, 李政豐 · 顏貽隆 · 陳蘭香 · 王淑霞 · 陳明峰
   • http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25312.pdf
4. Python v2.7.3 documentation » The Python Standard Library » 9. Numeric and Mathematical Modules »
   • 9.2. math — Mathematical functions
     • http://docs.python.org/library/math.html

by ccckmit

希臘符號的念法

鍵盤符號的念法

標記符號念法

基本數學符號

by ccckmit

1. 尤拉數e在微積分中的角色與用途
2. 泰勒展開式與函數逼近論
3. 傅立葉轉換在影像處理中的用途

簡介

尤拉數 e 是數學中，與圓周率幾乎同樣重要的一個數字，然而、尤拉數卻並沒有像圓周率這樣清楚的直覺意義，而且其用途與表現非常多樣化，這使得一般學生無法掌握到尤拉數的意義，本文將列出尤拉數 e 的幾種不同表示法，並說明其這些表示法之間的關係，以使讀者了解尤拉數 e 的數學價值。

尤拉數 e 的定義方式

尤拉數 e 是一個很難掌握的數字，但卻應用很廣，其表現出來的形式大致有下列三種：

尤拉數 e 的特性

1. 尤拉函數 $e^x$ 是微分運算的特徵值.

證明：

根據以上定義 (2)，只要將 n 改寫為 $\frac{1}{\Delta x}$，就可以得到下列代換式

所以

故

因此

2. 尤拉函數 $e^x$ 的泰勒級數有無窮多項，但卻很簡單.

根據前一個特性，也就是公式 (4)，我們可以用泰勒展開始將 $e^x$ 進行微分，會發現其泰勒級數如下：

3. 尤拉複函數 $e^{i x}$ 可分解為三角函數

$e^{i x}$ 的泰勒級數，是傅立葉轉換的基礎，因為它可以被分解為 sin() 與 cos() 的組合。

by ccckmit

您可以看到虛數自我相乘時，會產生每四次就循環出現的情況，如果我們將這個乘法畫在複數平面上，就會看到每次乘法都讓座標旋轉 90 度 ($\pi/2$)，而第四次的 $i^4$ 又回到了起始點 1。

沿著這個觀察推論下去，您可能會想到一個問題，虛數 i 的 1/2 次方到底是多少呢？

根據歸納性的猜測，既然每自乘一次 i 就會轉 90 度，那每自乘半次 i，也就是 $i^{1/2}$ ，那應該會轉 45 度，也就是：

我們可以初步驗證看看這個結果是否正確。

假如我們將上式平方，那麼左右兩邊是否還相等呢？

經由上面算式驗證，我們發現這是合理的想法。

而這個結果也正是虛數的重要之處，虛數代表複數平面上的圓周運動，每乘一次 i 就會旋轉九十度。

在此，如果我們利用泰勒展開式，就可以發現一個重要的定理，是尤拉 (Euler) 所發現的，所以稱為尤拉定理。

根據類似實數的推論，我們可以輕易的套出下列自然指數轉換方法：

註：複數 Z 如果寫成極座標形式可以用 $Z=r * e^{i x + 2 k \pi}$， 如果取 log (或 ln)，則通常規定為 $log(Z) = ln|Z| + i*arg(Z)$，其中 $arg(Z) = x + 2 k \pi$

尤拉定理

因為尤拉定理中的 x 代表角度，所以通常我們用符號 $\theta$ 表示，改寫如下：

當 $\theta = \pi$ 時，可得到下列算式：

也就是 $e^{i \pi} = -1$。

參考文獻

1. 棣美弗定理與 Euler 公式, 林琦焜
   • http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27401.pdf
2. 作者: scorpioeric (常行一式) 看板: Math, 標題: Re: [問題] i的i次方?, 時間: Wed Aug 2 00:23:49 2006
   • http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1154448404.A.B82.html

by ccckmit

說明：Octave 採用了 GnuPlot 進行繪圖，R 則採用 ggplot 進行繪圖。

參考文獻

1. 數學應用軟體 — http://www.mathland.idv.tw/soft/mathsoft.htm

by ccckmit

JPEG

影像辨識

FFT

by ccckmit

簡介

自動學習的理論、通常會討論到收斂的狀況，也就是在何時算式學習完成，而這個收斂狀況，在數學上就可以用函數不再變化來表示，其數學運算式表示如下：

類神經網路

機器學習中的類神經網路，主要利用到微積分的概念，幾乎所有類型的類神經網路，都是在找尋可微分函數的能量最低點，這包含了反傳遞網路 (Back Propagation Network)、自組織網路 (Self Organization Network) 與 Hopfield 網路 (Hopfield Network) 等。

其中、尤拉函數為微分運算的特徵點，因此、在許多類神經網路的模型上都會用到。

回饋式學習

機器學習中回饋式學習，主要利用到線性代數的技巧，其中尤其是有關特徵值 (eigen value) 與特徵向量(eigen vector)的部份，
由於代表了回饋運算的極限狀況，因此、特徵向量的理論特別的重要，

特徵向量為矩陣乘法的不動點，因此也是回饋運算的極限，其表示式如下：

by ccckmit

說明：Octave 採用了 GnuPlot 進行繪圖，R 則採用 ggplot 進行繪圖。

參考文獻

1. 數學應用軟體 — http://www.mathland.idv.tw/soft/mathsoft.htm

by ccckmit

投影片下載：Math.ppt

讓我們稍為比較一下中華文化與西洋文化的差別，看看為何西洋人注重數學，但是中國人卻只重視人倫。

評論

通常我們只看到歐洲工業革命後進步的表象，但是卻看不到背後深層的意涵，像是數學的注重、社會組織原理，學術與工業的分工，經濟上供應鏈的形成，政治上的議會與選舉制度等等，這些才是工業革命後歐洲之所以強盛的原因阿！

by ccckmit

*

by ccckmit

1. definition (定義)
   • 符號的意義，通常用來描述某種數學語法，像是 $\lim , \sum, \int, ...$]
2. axiom (公理)
   • 假定,公設 — 作為自明之理，在歐氏幾何原本中使用 postulate 也是這個意思。
3. proposition (命題)
   • 一個等待證明的假設或算式，一但證明完畢就成為定理 (Theorem)
4. corollary
   • a proposition inferred immediately from a proved proposition with little or no additional proof
5. lemma (引理)
   • an auxiliary proposition used in the demonstration of another proposition
6. theorem (定理)
   • a formula, proposition, or statement in mathematics or logic deduced or to be deduced from other formulas or propositions

有趣的說法

下文來自 Sean Mauch 的書籍附錄

Phrases often have different meanings in mathematics than in everyday usage. Here I have collected definitions of some mathematical terms which might confuse the novice.

1. beyond the scope of this text
   • Beyond the comprehension of the author.
2. difficult
   • Essentially impossible. Note that mathematicians never refer to problems they have solved as being difficult.
   • This would either be boastful, (claiming that you can solve difficult problems), or self-deprecating, (admitting that you found the problem to be difficult).
3. interesting
   • This word is grossly overused in math and science. It is often used to describe any work that the author has done, regardless of the work’s significance or novelty. It may also be used as a synonym for difficult. It has a completely different meaning when used by the non-mathematician. When I tell people that I am a mathematician they typically respond with, “That must be interesting.”, which means, “I don’t know anything about math or what mathematicians do.” I typically answer, “No. Not really.”
4. non-obvious or non-trivial
   • Real fuckin’ hard.
5. one can prove that … :
   • The “one” that proved it was a genius like Gauss. The phrase literally means “you haven’t got a chance in hell of proving that … ”
6. simple:
   • Mathematicians communicate their prowess to colleagues and students by referring to all problems as simple or trivial. If you ever become a math professor, introduce every example as being “really quite trivial.”

本文改寫自

1. Unabridged Version of Sean's Applied Math Book (No rights reserved)
   • 原始連結：http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
   • 備份連結：http://dl.dropbox.com/u/13828995/math/applied_math.pdf
   • 本書由加州理工的博士 Sean Mauch 所撰寫

by ccckmit

1. Wikidot 的數學式語法 (LaTex)
2. Wikidot 的數學式 (範例集)

參考文獻

1. LaTeX Math Symbols — http://web.ift.uib.no/Teori/KURS/WRK/TeX/symALL.html
2. http://www.forkosh.dreamhost.com/source_mimetex.html
3. http://code.google.com/apis/chart/docs/gallery/formulas.html
4. http://www.mathjax.org/
5. texttogif (perl) — http://www.fourmilab.ch/webtools/textogif/textogif.html
   • 必須安裝 Perl, TeX, LaTeX2e, dvips, Ghostscript, Netpbm
6. http://www.mathtoweb.com/
7. http://eric.chopin.pagesperso-orange.fr/latex/latex4web.htm
8. http://www.codecogs.com/components/eqneditor/editor.php

by ccckmit

學電腦的同學常常會有一個問題，為甚麼學校要教那麼多數學課程，這些數學又用不到，我們學了要做甚麼？

其實、這些數學都是深入電腦領域的基礎，數學不好、在進階的電腦課程上就會有障礙，本文中我們將說明這些數學課程與電腦之間的關係，並指出每一門數學的實際應用領域。

資訊系的數學、大致包函『微積分』、『線性代數』、『離散數學』、『機率統計』等，這些數學課程，其實是高年級甚至研究所電腦課程的基礎，以下、我們將說明每一門課程的應用領域。

微積分

內容：微分、積分、常微分方程、偏微分方程、傅立葉轉換、泰勒級數與函數逼近論。
應用：包含在數值分析課程中計算微分與積分的數值，其延伸領域的傅立葉轉換、泰勒級數語與函數逼近論也被用來作為影像壓縮與影像處理的基礎；微分概念也是人工智慧中類神經網路的基礎。

離散數學

內容：布林代數、排列組合、遞歸函數、圖形理論、有限狀態機、堆疊自動機(Push-Down automata)、可計算性。
應用：

1. 布林代數是數位邏輯的基礎，並且是人工智慧中的自動推論方法的基礎。
2. 遞歸函數是演算法中複雜度分析的基礎。
3. 圖形理論廣泛用在演算法的設計上，尤其是最佳化演算法中。
4. 有限狀態機與堆疊自動機是編譯器設計、正規語言與人工智慧中的自然語言處理的基礎。
5. 可計算性是形式語言與計算理論課程之基礎。

線性代數

內容：向量、矩陣、特徵值、特徵向量。
應用：作為線性規劃、計算機圖學、影像壓縮與影像處理的基礎，矩陣也常被用在資料結構與演算法課程上面，其應用非常廣、是資訊系最重要的數學課程，很多你意想不到的的主題最後都可以用線性代數的方法處理，例如全文檢索的技術、Google中網頁的排序方法等

機率統計

內容：二項分佈、常態分佈、普瓦松分佈、可靠度檢驗。
應用：作為所有管理學研究課程的基礎，並在人工智慧中的機器學習、資料採礦(Data Mining)與貝氏機率網路(Bayisian Network)上扮演重要的角色。

工程數學

內容：工程數學是微積分的延伸，內容以複變函數論為主，其重點是傅立葉轉換、拉普拉斯轉換等高等數學。
應用：傅立葉轉換的概念在影像處理與壓縮等領域非常非常重要，而拉普拉斯轉換近來在人工智慧的機率式最佳化領域則有相當好的應用。

by ccckmit

1. 畢氏定理的證明 — $sin^2(a) + cos^2(a) = 1$
2. 和角公式的證明 — sin(a+b) =sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)。

歐氏幾何

1. Euclid's Elements, Table of Contents
   • http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
2. 维基教科书 / 歐基里德幾何

by ccckmit

凡氏圖 (Venn Diagram)

兩個集合的文氏圖

三個集合的文氏圖

Python 的集合運算示範

from sets import Set A = Set([1, 3, 5, 7, 9]) B = Set([2, 3, 6, 8, 9]) print "A=", A print "B=", B print "A|B=", A|B print "A&B=", A&B print "A-B=", A-B print "B-A=", B-A

執行結果

A= Set([1, 3, 9, 5, 7]) B= Set([8, 9, 2, 3, 6]) A|B= Set([1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9]) A&B= Set([9, 3]) A-B= Set([1, 5, 7]) B-A= Set([8, 2, 6])

課堂錄影：集合論

參考文獻

1. 2001年初等集合論
   • http://www.sftw.umac.mo/~fstitl/2002-geometry/2003-set-notation-index.html
2. 集合論與數學教育：王九逵
   • http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_31_03_1/index.html

by ccckmit

• 空集合：
  • $\emptyset= \{\}$
  • the set containing no elements.
• 整數
  • $Z = \{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . .\}$
  • the set of integers. (Z is for “Zahlen”, the German word for “number”.)
• 有理數
  • $Q = \{p/q|p, q \in Z, q \ne 0\}$
  • the set of rational numbers. (Q is for quotient.)
• 實數
  • $R = \{x|x = a1a2 · · · an.b1b2 · · · \}$
  • the set of real numbers, i.e. the set of numbers with decimal expansions.
• 複數
  • $C = \{a + i b|a, b \in R, i^2 = −1\}$
  • the set of complex numbers. ı is the square root of −1.
• 正數的表示
  • $Z^+, Q^+, R^+$
  • the sets of positive integers, rationals and reals, respectively.
  • For example, $Z^+ = {1, 2, 3, . . .}.$
• 負數的表示
  • $Z^-, Q^-, R^-$
• 包含零的正數表示：
  • $Z^{0+}, Q^{0+} and R^{0+}$
  • the sets of non-negative integers, rationals and reals, respectively.
  • For example, $Z^{0+} ={0, 1, 2, . . .}$
• 開區間
  • $(a . . . b)$
  • denotes an open interval on the real axis. $(a . . . b)={x|x \in R, a < x < b}$
• 閉區間
  • $[a..b]$
  • We use brackets to denote the closed interval. $[a..b]={x|x \in R, a x b}$

Python 的數字運算

整數 (Z)

>>> a=3 >>> b=5 >>> a+b 8 >>> a-b -2 >>> a*b 15 >>> a-b -2

實數 (R)

>>> a=3.14 >>> b=2.71828 >>> a+b 5.858280000000001 >>> a-b 0.4217200000000001 >>> a*b 8.5353992 >>> a/b 1.155142222287623 >>> math.pi 3.141592653589793 >>> math.e 2.718281828459045 >>> pi 3.141592653589793 >>> e 2.718281828459045 >>> pi+e 5.859874482048838 >>> pi-e 0.423310825130748 >>> pi*e 8.539734222673566 >>> pi/e 1.1557273497909217 >>>

有理數 (Q)

>>> from fractions import Fraction >>> a=Fraction(1,3) >>> b=Fraction(1,4) >>> a+b Fraction(7, 12) >>> a-b Fraction(1, 12) >>> a*b Fraction(1, 12) >>> a/b Fraction(4, 3)

複數 (C)

>>> a = 3+2j >>> b = 1+1j >>> a+b (4+3j) >>> a-b (2+1j) >>> a*b (1+5j) >>> a/b (2.5-0.5j)

整數論的皮諾公設系統

Axiom of Natural Number System (Peano)

PE1 : 0 exist PE2 : x' = x+1 PE3 : x' > x PE4 : If x' = y' then x = y PE5 : Principle of mathmatical Induction : If P(0) and P(x) -> P(x') then For all x, P(x)

by ccckmit

1. 勾股定理/维基百科
2. 數學王子:畢氏定理
   • http://euler.tn.edu.tw/think8.htm

by ccckmit

by ccckmit

1. 計算機數學：動態系統、工業革命、學習自主權、反運算
2. 計算機數學 (集合論、文氏圖) (1)
3. 遊戲理論 (1) -- 國富論：看不見的手、教育僵局
4. 遊戲理論 (2) -- 國富論：看不見的手、教育僵局
5. 遊戲理論 (3) -- 納許均衡、教育僵局、民主僵局
6. 計算機數學：動態系統、工業革命、學習自主權、反運算
7. 全球程式：線性代數、PageRank、西方文化中的數學
8. 全球程式夢、台灣產業、文化保存、數學之用途
9. 計算機數學 (計算理論)
10. 計算機數學 (圖形理論)
11. 動態系統 (第五項修練, 金觀濤的理論)
12. 動態系統理論 (原子能、教育指標、入學指標多元化)
13. 動態系統理論 (物理哲學、原子彈、相對論、核能)
14. 計算機數學：期中考前大複習
15. 計算機數學：期中考解答 (1)
16. 計算機數學：期中考解答 (2)
17. 科學與數學

相關影片

1. 康拉德·沃夫朗：使用電腦教導小孩們真正的數學

by ccckmit