變異數分析 (ANOVA)

問題:如果有 k 組母體,當我們對這 k 祖母體進行抽樣,隨機取得 $n_1, n_2, ...., n_k$ 個樣本之後,我們應該如何檢定這些樣本的特性,像是平均數與變異數呢?

檢定平均數

問題一:是否所有的平均數都沒有顯著的差別?

假設 公式 說明
H0 $\mu_1 = \mu_2 =... = \mu_k$
H1 $\mu_i \neq \mu_j$ 對於某些 i 與 j 而言

問題二:檢定對比?(Testing Contrasts)

  • 範例:$\mu_1 + \mu_2 = \mu_3 + \mu_4$ ?
  • 定義:(處理平均對比) $L = \sum_{i=1}^{k} c_i \mu_i$ ; 其中 $\sum_{i=1}^k c_i = 0$
  • 檢定:(對比平方和)
(1)
\begin{align} SS_L = F_{1, N-k} = \frac{ \left( \sum_{i=1}^k c_i \bar{Y}_i \right)^2 / \sum_{i=1}^k \frac{c_i^2}{n_i} }{MS_E} \end{align}
  • 定義:(垂直對比) 兩個對比 $L_1 = \sum_{i=1}^k a_i \mu_i$$L_2 = \sum_{i=1}^k b_i \mu_i$ 垂直 <=> $\sum_{i=1}^k \frac{a_i b_i}{n_i} = 0$
      • 為了避免 $SS_{L1} + SS_{L1} + ... SS_{L1} = SS_{Tr}$ 會造成碰巧檢定不出來,因此要求對比之間必須要符合「垂直」(orthogonal) 的條件。

檢定變異數

問題一:是否所有的變異數都沒有顯著的差別?

假設 公式 說明
H0 $\sigma_1 = \sigma_2 =... = \sigma_k$
H1 $\sigma_i \neq \sigma_j$ 對於某些 i 與 j 而言

問題二:哪些變異數有顯著的差別?成對比較:(Pairwise Comparison)

  • 方法一:Duncan 多重全距檢定。
  • 方法二:Tokey 檢定。

檢定中位數 (無母數方法)

問題一:是否所有的中位數都沒有顯著的差別?

H0: $M_1 = M_2 =... = M_k$
H1: $M_i \neq M_j$ ; 對於某些 i 與 j 而言。

  • 方法一:Kruskal-Wallis 檢定
  • 方法二:Friedman 檢定
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