微積分 -- 開放公益出版品

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關於本書:微積分

開放公益出版

開放公益出版品是一個結合「開放原始碼與公益捐款活動」的出版品。本著「讀書做善事、寫書做公益」的精神,讓您的作品可以發揮公益效果,幫助更多需要幫助的人。

本書內容

內容目錄
第0章 數學基礎    14
 0.1.集合 (Set)    14
 0.1.1.聯集、交集、差集 (Union, Intersection and Difference)    16
 0.1.2.集合的代數 (Set and Algebra)    20
 0.2.代數 (Algebra)    21
 0.2.1.代數空間 (Algebraic Space)    21
 0.2.2.群 (Group)    21
 0.2.3.場 (Field)    22
 0.3.函數 (Function)    24
 0.3.1.函數的數學定義 (The Definition of Function)    25
 0.3.2.單射(injective)、滿射(surjective)與雙射 (bijective)    29
 0.3.3.反映射與多值函數 (Inverse and Multivalued Function)    30
 0.4.數學符號的念法    34
 0.4.1.希臘符號的念法    35
 0.4.2.運算與標記的念法    36
第1章 微積分簡介 (Introducton to Calculus)    39
 1.1.微積分與電資領域 (Calculus and Computer)    39
 1.1.1.離散與連續 (Discrete and Continuous)    39
 1.1.2.微積分與程式 (Calculus and Coding)    41
 1.1.3.微積分與電路 (Calculus and Circuit)    42
 1.2.微積分的歷史    43
 1.3.函數 (Function)    51
 1.3.1.函數的數學定義 (The Definition of Function)    53
 1.3.2.單射(injective)、滿射(surjective)與雙射 (bijective)    56
 1.3.3.反映射與多值函數 (Inverse and Multivalued Function)    57
 1.4.函數大觀園    61
 1.5.積分的概念    72
 1.5.1.單變數函數的積分 – 計算面積    72
 1.5.2.雙變數函數的積分 – 計算體積    76
    76
第2章 微分 (Differential Calculus)     77
 2.1.微分的概念    77
 2.2.極限 (Limits)    83
 2.2.1.函數的極限 (Limits of Function)     83
 2.2.2.左極限與右極限 (Left and Right Limits):    90
 2.2.3.極限的性質    91
 2.3.連續 (Continuous)    93
 2.4.導數 (Derivative)    96
 2.4.1.導數的定義    96
 2.4.2.可導 (可微分)    97
 2.4.3.病態函數    102
 2.5.微分     103
 2.5.1.微分法則    103
 2.5.2.微分的代數    107
 2.5.3.微分的計算    109
 2.5.4.微分公式的證明    110
 2.5.4.1.整次方的微分公式證明    110
 2.5.4.2.常數乘法 c*f(x)的微分公式證明    112
 2.5.4.3.f(x)*g(x) 的微分公式證明    113
 2.5.4.4.鏈鎖規則的微分公式證明    115
 2.5.4.5.sin(x) 的微分公式證明    117
 2.5.4.6.自然指數函數的微分公式證明    121
 2.5.5.鏈鎖規則的運用 (Chain Rule)     122
 2.6.均值定理 (Mean Value Theorems)    124
 2.7.羅必達法則 (L’Hospital’s Rule)    127
 2.8.隱函數的微分 (Implicit Differentiation)    133
 2.9.極大值與極小值 (Maxima and Minima)    136
 2.10.實作:數值微分    138
 2.11.習題    139
第3章 積分    141
 3.1.積分符號    141
 3.2.定積分 (Definite Integral)    145
 3.2.1.定積分的特性 (Properties)    146
 3.3.微積分基本定理    148
 3.4.不定積分 (Indefinite Integral)    152
 3.4.1.不定積分的特性    154
 3.4.2.積分值定理 (integral evaluation theorem)    155
 3.5.積分的技巧 (Techniques of Integration)    157
 3.5.1.變數代換 (Change of Variable)    158
 3.5.2.部份積分 (Integration by parts)    163
 3.5.3.部分分式 (Partial Fractions)    167
 3.6.瑕積分 (Improper Integral)    174
 3.6.1.單邊瑕積分    175
 3.6.2.無限大的情況    178
 3.7.實作:數值積分    182
第4章 微分與函數逼近    185
 4.1.函數逼近    185
 4.2.泰勒展開式    187
 4.3.尤拉數 e – 微積分的單位元素    199
 4.3.1.尤拉數 e 的性質    199
 4.3.2.尤拉函數  – 微積分的單位元素    201
 4.3.3.尤拉複函數 –e 與三角函數的關連    205
 4.4.傅立葉級數–以三角函數逼近 f(x)    210
第5章 積分與函數轉換    214
 5.1.傅立葉轉換 (Fourier Transform)    214
 5.1.1.傅立葉級數與轉換    214
 5.1.2.傅立葉轉換的直覺意義    222
 5.1.3.逆向傅立葉轉換    235
 5.1.4.轉換    236
 5.2.拉普拉斯轉換 (Laplace Transform)    239
 5.2.1.拉氏變換的基本性質    240
 5.2.2.常見函數的拉氏轉換表    244
 5.3.Z 轉換 – 拉氏轉換的離散快速版    246
 5.4.轉換之間的關係    250
 5.5.對偶空間    254
 5.5.1.對偶的概念    254
 5.5.2.微分型對偶空間    254
 5.5.3.積分型對偶空間    254
 5.5.4.張量與座標轉換    254
 5.6.程式實作    255
 5.6.1.離散餘弦轉換 (DCT)    255
 5.6.2.簡易傅立葉轉換 (SFT)    258
 5.6.3.快速傅立葉轉換算法 (FFT)    261
 5.6.4.二維傅立葉轉換與 JPEG 影向壓縮    261
 5.6.5.Z 轉換與訊號處理    263
第6章 多變數微分    264
 6.1.多變數函數    264
 6.2.偏導函數    264
 6.3.極值與鞍點    264
 6.4.Lagrange乘子法    264
第7章 多變數積分    265
 7.1.雙重積分    265
 7.2.多重積分    265
 7.3.極坐標的重積分    265
附錄 A. 繪製函數圖的程式

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