泰勒展開式 (Taylor Series) 與函數逼近論
微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
相關文章簡介微積分概念中的微分，具有許多神奇的應用，其中基於多項式不斷微分概念的泰勒級數，更成為函數逼近論的基礎，函數逼近方法中最重要的傅立葉轉換，更成為影像處理的神奇工具，本文將說明微積分、泰勒級數、函數逼近、傅立葉轉換在影像處理中的地位與用途。 微分與泰勒級數一般的連續函數通常可以不斷的進行微分，因此、就可以用多項式來逼近該函數，其背後的想法是： 『如果我想用一個多項式來逼近函數，應該如何做呢？』 關於這個問題、如果我們直接將函數表示成多項式，可改寫如下： (1)\begin{align} f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ...+ c_k x^k+...=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k \end{align}
然而、這些 c0, c1, … 等係數，到底應該是多少呢？關於這個問題，必需使用函數逼近法，所謂的函數逼近法，就是利用微分的概念，對於一個指定函數 f(x)，在某特定點附近不斷取微分的方法。 根據算式 (1) 不斷進行微分，可以導出下列算式： (2)\begin{eqnarray} f'(x) & = & \frac{d f(x)}{dx} &=& c_1+c_2*2*x+c_3*3*x^2+c_4*4*x^3+... \\ f''(x) & = & \frac{d f'(x)}{dx} &=& c_2*2*1+c_3*3*2*x+c_4*4*3*x^2+... \\ f'''(x) & = & \frac{d f''(x)}{dx} &=& c_3*3*2*1+c_4*4*3*2*x+... \\ ... \\ f^k(x) & = & \frac{d f^{k-1}(x)}{dx} \;\;\; &=& c_k k!+c_{k+1} (k+1)! x+... \end{eqnarray}
於是、根據上述最後一個通用算式，若在 x 趨近於 0 時，可捨棄具有 x 的項目(因為 x 非常接近 $0，x, x^2$ … 都很小、捨棄一點點無所謂啦)，於是我們就發現下列關係： (3)\begin{align} c_k = \frac{f^k(0)}{k!} \end{align}
於是、我們就可以將這些係數 ck 套回算式 (1)，而得到下列算式 (4)： (4)\begin{align} f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x +...+ \frac{f^k (0)}{k!} x^k+...=\sum^{\infty}_{k=0} \frac{f^k(0)}{k!} x^k \end{align}
這就是所謂的泰勒級數，又稱泰勒展開式 (請注意，通常我們稱泰勒展開式是在 x=c 點的微分式，上述公式乃是取 x=0 附近的微分式，這種在零點的泰勒展開式又稱為麥克羅林級數 Maclaurin Seires)。 上述的論述是針對函數 f(x) 在接近 0 的地方進行逼近的結果，對於在接近 a 的地方，泰勒級數將修改如下： (5)\begin{align} f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) +...+ \frac{f^{k(a)}}{k!} (x-a)^k+...= \sum^\infty_{k=0} \frac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k \end{align}
注意泰勒展開式要能夠逼近函數 f(x)，則 f(x) 必須滿足兩個條件，這兩個條件是 f(x) 必須是連續函數，而且 f(x) 可以微分 (在任何一點上)，也就是 f(x) 必須是連續且可微分的函數。 參考文獻 |
page revision: 17, last edited: 12 Sep 2012 23:53
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