泰勒展開式 (Taylor Series) 與函數逼近論

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  2. 泰勒展開式與函數逼近論
  3. 傅立葉轉換在影像處理中的用途

簡介

微積分概念中的微分,具有許多神奇的應用,其中基於多項式不斷微分概念的泰勒級數,更成為函數逼近論的基礎,函數逼近方法中最重要的傅立葉轉換,更成為影像處理的神奇工具,本文將說明微積分、泰勒級數、函數逼近、傅立葉轉換在影像處理中的地位與用途。

微分與泰勒級數

一般的連續函數通常可以不斷的進行微分,因此、就可以用多項式來逼近該函數,其背後的想法是:

『如果我想用一個多項式來逼近函數,應該如何做呢?』

關於這個問題、如果我們直接將函數表示成多項式,可改寫如下:

(1)
\begin{align} f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ...+ c_k x^k+...=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k \end{align}

然而、這些 c0, c1, … 等係數,到底應該是多少呢?關於這個問題,必需使用函數逼近法,所謂的函數逼近法,就是利用微分的概念,對於一個指定函數 f(x),在某特定點附近不斷取微分的方法。

根據算式 (1) 不斷進行微分,可以導出下列算式:

(2)
\begin{eqnarray} f'(x) & = & \frac{d f(x)}{dx} &=& c_1+c_2*2*x+c_3*3*x^2+c_4*4*x^3+... \\ f''(x) & = & \frac{d f'(x)}{dx} &=& c_2*2*1+c_3*3*2*x+c_4*4*3*x^2+... \\ f'''(x) & = & \frac{d f''(x)}{dx} &=& c_3*3*2*1+c_4*4*3*2*x+... \\ ... \\ f^k(x) & = & \frac{d f^{k-1}(x)}{dx} \;\;\; &=& c_k k!+c_{k+1} (k+1)! x+... \end{eqnarray}

於是、根據上述最後一個通用算式,若在 x 趨近於 0 時,可捨棄具有 x 的項目(因為 x 非常接近 $0,x, x^2$ … 都很小、捨棄一點點無所謂啦),於是我們就發現下列關係:

(3)
\begin{align} c_k = \frac{f^k(0)}{k!} \end{align}

於是、我們就可以將這些係數 ck 套回算式 (1),而得到下列算式 (4):

(4)
\begin{align} f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x +...+ \frac{f^k (0)}{k!} x^k+...=\sum^{\infty}_{k=0} \frac{f^k(0)}{k!} x^k \end{align}

這就是所謂的泰勒級數,又稱泰勒展開式 (請注意,通常我們稱泰勒展開式是在 x=c 點的微分式,上述公式乃是取 x=0 附近的微分式,這種在零點的泰勒展開式又稱為麥克羅林級數 Maclaurin Seires)。

上述的論述是針對函數 f(x) 在接近 0 的地方進行逼近的結果,對於在接近 a 的地方,泰勒級數將修改如下:

(5)
\begin{align} f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) +...+ \frac{f^{k(a)}}{k!} (x-a)^k+...= \sum^\infty_{k=0} \frac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k \end{align}

注意

泰勒展開式要能夠逼近函數 f(x),則 f(x) 必須滿足兩個條件,這兩個條件是 f(x) 必須是連續函數,而且 f(x) 可以微分 (在任何一點上),也就是 f(x) 必須是連續且可微分的函數。

參考文獻

  1. 維基百科:泰勒級數 — http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0

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