微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
請先參考：對偶空間 張量 (Tensor)在數學裡，張量是一種幾何實體，或者說廣義上的「數量」，在此所謂的「數量」包含「純量、向量或矩陣」。 張量通常是指用來描述「純量、向量或張量」之間關係的「線性映射」，例如「內積、外積、線性映射」等都是張量。 但在數學裏，張量概念本身就包括了純量、向量和線性算子。張量可以用坐標系統來表達，記作純量的數組，但它是定義為「不依賴於參照系的選擇的」。 通常我們稱第零階張量 （r=0） 為純量，第一階張量 （r=1） 為向量 ， 第二階張量 （r=2） 則成為矩陣。例如，對於3維空間，(r=1) 時的張量為此向量：(x,y,z) T。由於變換方式的不同，張量分成協變張量 （指標在下者，代表對偶空間 中的協變向量，是對偶函數空間中的元素）、逆變張量 （指標在上者，代表對偶空間 中的逆變向量，是向量空間中的元素）、 混合張量 （指標在上和指標在下兩者都有，既有向量也有對偶函數）三類。 在一般常用的情況下，我們所說的張量通常指的是第二階張量，也就是用來描述向量間線性關係的矩陣，這種矩陣代表的是一種線性映射，這種線性映射表現為一種「數量矩陣」。
範例：正交座標系統的修正量此例為連續對偶空間中的一種張量範例 兩個正交座標系統之間，在基底方向微量變化時，必須加入一個修正量，使得各基底的度量變化是一致的，這個修正稱為度量係數 h (metric coefficient) ，h 是一種第二階張量。
正交座標系統正交座標系統不一定是線性的，像是「極座標系統」、「球座標系統」、「圓柱座標系統」都是正交的座標系統。 所以 2D 「直角坐標系統」轉為「極座標系統」時，就必須使用張量。
同理 3D 「直角坐標系統」轉為「球座標系統」時，也必須使用張量。
座標系統中的向量可以用 $\vec{A}=\hat{e}_{u1} A_{u1} + \hat{e}_{u2} A_{u2}+\hat{e}_{u3} A_{u3}$ 表示，例如：
正交座標系統的長度、面積、體積之表示法微量長度的純量表示方法$d l_i = h_i d u_i$, i=1,2,3,… 範例：$dl_1 = h_1 d u_1; dl_2 = h_2 d u_2; dl_3 = h_3 d u_3;$ 微量長度的表示方法可以用下列方法表示： (1)\begin{eqnarray} \vec{d l} &=& \hat{e}_{u_1} d l_1 + \hat{e}_{u_2} dl_2+\hat{e}_{u_3} d l_3 \\ &=& \hat{e}_{u_1} h_1 d u_1 + \hat{e}_{u_2} h_2 du_2+\hat{e}_{u_3} h_3 d u_3 \end{eqnarray}
範例：
微量面積的純量表示方法微量面積的表示方法可以用下列方法表示： (2)\begin{eqnarray} \vec{ds} &=& \hat{e}_{u_1} ds_1 + \hat{e}_{u_2} ds_2+\hat{e}_{u_3} ds_3 \\ \end{eqnarray}
(3)
\begin{eqnarray} ds_1 &=& dl_2 dl_3 &=& h_2 h_3 du_2 du_3 \\ ds_2 &=& dl_1 dl_3 &=& h_1 h_3 du_1 du_3 \\ ds_3 &=& dl_1 dl_2 &=& h_1 h_2 du_1 du_2 \\ \end{eqnarray}
微量體積的純量表示方法微量體積的表示方法可以用下列方法表示： (4)\begin{equation} dv = dl_1 dl_2 dl_3 = h_1 h_2 h_3 du_1 du_2 du_3 \end{equation}
正交座標系統的基底轉換假如兩座標系統基底各為 $\hat{e}_{u1}, \hat{e}_{u2}, \hat{e}_{u3}$ 與 $\hat{e}'_{u1}, \hat{e}'_{u2}, \hat{e}'_{u3}$ ： 則任一向量 $\vec{A}$ 可以表示如下： (5)\begin{eqnarray} \vec{A} &=& \hat{e}_{u1} A_{u1} + \hat{e}_{u2} A_{u2}+\hat{e}_{u3} A_{u3} \\ &=& \hat{e}'_{u1} A'_{u1} + \hat{e}'_{u2} A'_{u2}+\hat{e}'_{u3} A'_{u3} \end{eqnarray}
將上式的前後兩半分別與 $\hat{e}'_{u1}, \hat{e}'_{u2}, \hat{e}'_{u3}$ 做內積運算，可得下列聯立方程式。 (6)\begin{eqnarray} A'_1 &=& \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u1} A_1 + \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u2} A_2+\hat{e}'_{u1} \hat{e}'_{u3}A_3 \\ A'_2 &=& \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u1} A_1 + \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u2} A_2+\hat{e}'_{u2} \hat{e}'_{u3} A_3 \\ A'_3 &=& \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u1} A_1 + \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u2} A_2+\hat{e}'_{u3} \hat{e}'_{u3} A_3 \\ \end{eqnarray}
將上式寫成矩陣： (7)\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} A'_1 \\ A'_2 \\ A'_3 \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{ccc} \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u1} & \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u2} & \hat{e}'_{u1} \hat{e}'_{u3} \\ \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u1} & \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u2} & \hat{e}'_{u2} \hat{e}'_{u3} \\ \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u1} & \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u2} & \hat{e}'_{u3} \hat{e}'_{u3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array} \right\} \end{align}
圓柱座標與直角座標系統之轉換由於直角座標 (x, y, z) 與圓柱座標 $(r, \phi, z)$ 兩者的 z 相同，所以 z 部份轉換系數為 1，轉換矩陣如下： (8)\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} A'_r \\ A'_\phi \\ A'_z \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{ccc} cos \phi & sin \phi & 0 \\ - sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right\} \end{align}
球座標與直角座標系統之轉換(9)\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} A'_R \\ A'_\theta \\ A'_\phi \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{ccc} sin \theta cos \phi & sin \theta sin \phi & cos\theta \\ cos \theta cos \phi & cos \theta sin \phi & - sin \theta \\ - sin \phi & cos \phi & 0 \\ \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right\} \end{align}
參考文獻
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張量
page revision: 51, last edited: 10 Sep 2012 02:08
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