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請先參考:對偶空間

張量 (Tensor)

在數學裡,張量是一種幾何實體,或者說廣義上的「數量」,在此所謂的「數量」包含「純量、向量或矩陣」。

張量通常是指用來描述「純量、向量或張量」之間關係的「線性映射」,例如「內積、外積、線性映射」等都是張量。

但在數學裏,張量概念本身就包括了純量、向量和線性算子。張量可以用坐標系統來表達,記作純量的數組,但它是定義為「不依賴於參照系的選擇的」。

通常我們稱第零階張量 (r=0) 為純量,第一階張量 (r=1) 為向量 , 第二階張量 (r=2) 則成為矩陣。例如,對於3維空間,(r=1) 時的張量為此向量:(x,y,z) T。由於變換方式的不同,張量分成協變張量 (指標在下者,代表對偶空間 中的協變向量,是對偶函數空間中的元素)、逆變張量 (指標在上者,代表對偶空間 中的逆變向量,是向量空間中的元素)、 混合張量 (指標在上和指標在下兩者都有,既有向量也有對偶函數)三類。

在一般常用的情況下,我們所說的張量通常指的是第二階張量,也就是用來描述向量間線性關係的矩陣,這種矩陣代表的是一種線性映射,這種線性映射表現為一種「數量矩陣」。

n, m n=0 n=1 n=2 n=N
m = 0 純量 向量 雙向量 n 向量
m = 1 協向量 (covector), 線性函數
m = 2 雙線性形式,例如內積、外積、
m = 3 3-form
m = M e.g. M-form i.e. volume form

範例:正交座標系統的修正量

此例為連續對偶空間中的一種張量範例

兩個正交座標系統之間,在基底方向微量變化時,必須加入一個修正量,使得各基底的度量變化是一致的,這個修正稱為度量係數 h (metric coefficient) ,h 是一種第二階張量。

座標系統 h1 h2 h3
直角座標系統 1 1 1
圓柱座標系統 1 r 1
球座標系統 1 R $R sin(\theta)$

正交座標系統

正交座標系統不一定是線性的,像是「極座標系統」、「球座標系統」、「圓柱座標系統」都是正交的座標系統。

所以 2D 「直角坐標系統」轉為「極座標系統」時,就必須使用張量。

座標系統 (u1, u2)
直角座標系統 (x, y)
極座標系統 $(R, \theta)$

同理 3D 「直角坐標系統」轉為「球座標系統」時,也必須使用張量。

座標系統 (u1, u2, u3)
直角座標系統 (x, y, z)
圓柱座標系統 $(r, \phi, z)$
球座標系統 $(R, \theta, \phi)$

座標系統中的向量可以用 $\vec{A}=\hat{e}_{u1} A_{u1} + \hat{e}_{u2} A_{u2}+\hat{e}_{u3} A_{u3}$ 表示,例如:

座標系統 $\hat{e}_{u1} A_{u1} + \hat{e}_{u2} A_{u2}+\hat{e}_{u3} A_{u3}$
直角座標系統 $\hat{e}_{x} A_{x} + \hat{e}_{y} A_{y}+\hat{e}_{z} A_{z}$
圓柱座標系統 $\hat{e}_{r} A_{r} + \hat{e}_{\phi} A_{\phi}+\hat{e}_{z} A_{z}$
球座標系統 $\hat{e}_{R} A_{R} + \hat{e}_{\theta} A_{\theta}+\hat{e}_{\phi} A_{\phi}$

正交座標系統的長度、面積、體積之表示法

微量長度的純量表示方法

$d l_i = h_i d u_i$, i=1,2,3,…

範例:$dl_1 = h_1 d u_1; dl_2 = h_2 d u_2; dl_3 = h_3 d u_3;$

微量長度的表示方法可以用下列方法表示:

(1)
\begin{eqnarray} \vec{d l} &=& \hat{e}_{u_1} d l_1 + \hat{e}_{u_2} dl_2+\hat{e}_{u_3} d l_3 \\ &=& \hat{e}_{u_1} h_1 d u_1 + \hat{e}_{u_2} h_2 du_2+\hat{e}_{u_3} h_3 d u_3 \end{eqnarray}

範例:

座標系統 長度
直角座標 $\vec{d l} = \hat{e}_{x} dx + \hat{e}_{y} dy+\hat{e}_{z} dz$
圓柱座標 $\vec{d l} = \hat{e}_{r} dr + \hat{e}_{\phi} d \phi +\hat{e}_{z} dz$
球座標 $\vec{d l} = \hat{e}_{R} dR + \hat{e}_{\theta} R d\theta+\hat{e}_{\phi} R sin \theta d\phi$

微量面積的純量表示方法

微量面積的表示方法可以用下列方法表示:

(2)
\begin{eqnarray} \vec{ds} &=& \hat{e}_{u_1} ds_1 + \hat{e}_{u_2} ds_2+\hat{e}_{u_3} ds_3 \\ \end{eqnarray}
(3)
\begin{eqnarray} ds_1 &=& dl_2 dl_3 &=& h_2 h_3 du_2 du_3 \\ ds_2 &=& dl_1 dl_3 &=& h_1 h_3 du_1 du_3 \\ ds_3 &=& dl_1 dl_2 &=& h_1 h_2 du_1 du_2 \\ \end{eqnarray}
座標系統 $ds_1$ $ds_2$ $ds_3$
直角座標 (x,y,z) $ds_x = dy dz$ $ds_y = dx dz$ $ds_z = dx dy$
圓柱座標 $(r, \phi, z)$ $ds_r = r d\phi dz$ $ds_\phi = dr dz$ $ds_z=r dr d\phi$
球座標 $R, \theta, \phi$ $ds_R=R^2 sin \theta d\theta d\phi$ $ds_\theta = R sin \theta d R d\phi$ $ds_\phi = R dR d\theta$

微量體積的純量表示方法

微量體積的表示方法可以用下列方法表示:

(4)
\begin{equation} dv = dl_1 dl_2 dl_3 = h_1 h_2 h_3 du_1 du_2 du_3 \end{equation}
座標系統 體積 dv
直角座標 $dx dy dz$
圓柱座標 $r dr d\phi dz$
球座標 $R^2 sin \theta dR d\theta d\phi$

正交座標系統的基底轉換

假如兩座標系統基底各為 $\hat{e}_{u1}, \hat{e}_{u2}, \hat{e}_{u3}$$\hat{e}'_{u1}, \hat{e}'_{u2}, \hat{e}'_{u3}$

則任一向量 $\vec{A}$ 可以表示如下:

(5)
\begin{eqnarray} \vec{A} &=& \hat{e}_{u1} A_{u1} + \hat{e}_{u2} A_{u2}+\hat{e}_{u3} A_{u3} \\ &=& \hat{e}'_{u1} A'_{u1} + \hat{e}'_{u2} A'_{u2}+\hat{e}'_{u3} A'_{u3} \end{eqnarray}

將上式的前後兩半分別與 $\hat{e}'_{u1}, \hat{e}'_{u2}, \hat{e}'_{u3}$ 做內積運算,可得下列聯立方程式。

(6)
\begin{eqnarray} A'_1 &=& \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u1} A_1 + \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u2} A_2+\hat{e}'_{u1} \hat{e}'_{u3}A_3 \\ A'_2 &=& \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u1} A_1 + \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u2} A_2+\hat{e}'_{u2} \hat{e}'_{u3} A_3 \\ A'_3 &=& \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u1} A_1 + \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u2} A_2+\hat{e}'_{u3} \hat{e}'_{u3} A_3 \\ \end{eqnarray}

將上式寫成矩陣:

(7)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} A'_1 \\ A'_2 \\ A'_3 \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{ccc} \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u1} & \hat{e}'_{u1} \hat{e}_{u2} & \hat{e}'_{u1} \hat{e}'_{u3} \\ \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u1} & \hat{e}'_{u2} \hat{e}_{u2} & \hat{e}'_{u2} \hat{e}'_{u3} \\ \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u1} & \hat{e}'_{u3} \hat{e}_{u2} & \hat{e}'_{u3} \hat{e}'_{u3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array} \right\} \end{align}

圓柱座標與直角座標系統之轉換

由於直角座標 (x, y, z) 與圓柱座標 $(r, \phi, z)$ 兩者的 z 相同,所以 z 部份轉換系數為 1,轉換矩陣如下:

(8)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} A'_r \\ A'_\phi \\ A'_z \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{ccc} cos \phi & sin \phi & 0 \\ - sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right\} \end{align}

球座標與直角座標系統之轉換

(9)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} A'_R \\ A'_\theta \\ A'_\phi \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{ccc} sin \theta cos \phi & sin \theta sin \phi & cos\theta \\ cos \theta cos \phi & cos \theta sin \phi & - sin \theta \\ - sin \phi & cos \phi & 0 \\ \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right\} \end{align}

參考文獻

  1. http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
    • Tensors are geometric objects that describe linear relations between vectors, scalars, and other tensors.
  2. 如何理解?量? - 琢玉坊- 新繁星客?- Powered by Discuz!
    • http://fxkz.net/viewthread.php?tid=8130&page=1 (這個解釋有問題)
    • ??的?,?量就是??矢量?的比例系?。
    • 如果??矢量方向相同,比例系?是一??量,?作:b=ka. 其中a,b?矢量,k?一常?,几何上相?于把a拉伸了k倍。
    • 如果??矢量方向不同,比例系?是一??量,?作: b=Ka. 其中K?矩?,几何上相?于先把a旋?一?角度,之后再拉伸|K|倍。

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