複變函數的展開與留數定理

微積分

簡介

函數

極限

微分

積分

微分與積分

公理化

無窮級數

泰勒展開式

傅立葉級數

拉氏轉換

z 轉換

小波轉換

多變量微積分

向量與函數

向量分析

複變函數

偏微分

Jocobian

多重積分

微分方程

偏微分方程

向量場

對偶空間

張量

梯度

線積分

散度

旋度

英文用語

GeoGebra

習題

相關書籍

應用數學

微積分

離散數學

線性代數

機率統計

訊息

相關網站

參考文獻

最新修改

簡體版

English

複變函數的級數展開

複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如:每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示:

(1)
\begin{align} f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n = a_0 + a_1 (z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + a_3 (z-z_0)^3 + \cdots \end{align}

特別地,全純函數都是無限次可微的,性質對實可微函數而言普遍不成立。大部分初等函數(多項式、指數函數、三角函數)都是全純函數。常用的方法有=「泰勒級數展開」等。

洛朗級數

複變函數 f(z) 的洛朗級數,是冪級數的一種,它不僅包含了正數次數的項,也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數,但可以表示為洛朗級數。

(2)
\begin{align} f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n \end{align}

奇點的情況

對於複變函數的孤立奇點,有如下三類。

本質奇點
複變函數在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開,如果存在無窮個負冪項,那麼這個點稱為“本質奇點”。
對複平面 C 上的給定的開子集 U,以及 U 中的一點 a,亞純函數 f:U\{a}→C 在 a 處有本質奇點當且僅當它不是極點也不是可去奇點。
極點
複變函數在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開,如果存在有限個負冪項,那麼這個點稱為“極點” (singularity)。
亞純函數的極點是一種特殊的奇點,它的表現如同 z-a = 0 時 $1/(z-a)^n$ 的奇點。這就是說,如果當 z 趨於 a 時,函數 f(z) 趨於無窮大,那麼 f(z) 在 z = a 處便具有極點。
可去奇點
複變函數在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開,如果沒有負冪項,那麼這個點稱為“極點” (singularity)。
如果 U 是複平面 C 的一個開集,a 是 U 中一點,f : U-{a} → C 是一個全純函數,如果存在一個在 U - {a} 與 f 相等的全純函數 g : U → C,則 a 稱為 f 的一個「可去奇點」。如果這樣的 g 存在,我們說 f 在 a 是可全純延拓的。

留數 (Residue)

在複分析中,留數是一個複數,描述亞純函數在奇點周圍的路徑積分的表現。

亞純函數 f 在孤立奇點 a 的留數,通常記為 Res(f,a),是使 $f(z)-{R \over (z-a)}$ 在圓盤 $0<|z-a|<\delta$ 內具有解析原函數的唯一值 R

留數定理

250px-Residue_theorem_illustration.png

在複分析中,「留數定理」是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

假設 U 是複平面上的一個單連通開子集,a1,…,an 是複平面上有限個點,f 是定義在 U\{a1,…,an} 的全純函數。如果 γ 是一條把 a1,…,an 包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個 ak,並且其起點與終點重合,那麼:

(3)
\begin{align} \oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k ). \end{align}

一些難於計算的實函數的積分可以通過轉化為複變函數,然後利用留數定理來進行計算。

授權

本文修改自維基百科,使用時請遵守其 CC-by-sa 3.0 授權。

參考文獻

  1. 維基百科:複數平面 — http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%8D%E5%B9%B3%E9%9D%A2
  2. 維基百科:複分析 — http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%8D%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0
  3. 維基百科:柯西-黎曼方程 — http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF-%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B
  4. 維基百科:柯西積分定理 — http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AE%9A%E7%90%86
  5. 維基百科:留數 — http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

Facebook

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License