專門為程式人寫的 -- 微積分

微積分

簡介

函數

極限

微分

積分

微分與積分

公理化

無窮級數

泰勒展開式

傅立葉級數

拉氏轉換

z 轉換

小波轉換

多變量微積分

向量與函數

向量分析

複變函數

偏微分

Jocobian

多重積分

微分方程

偏微分方程

向量場

對偶空間

張量

梯度

線積分

散度

旋度

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GeoGebra

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相關書籍

應用數學

微積分

離散數學

線性代數

機率統計

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無用之用,乃為大用 — 《老子道德經》

微積分與程式

數學在某個觀點上可以分為兩類,離散數學與連續數學,而微積分則是連續數學的基礎課程。

大學一年級的數學課程常從微積分開始,但是許多人都不知到學微積分有何用處?有些人在某一天會發現微積分的用處,有些人則是一輩子都不會用到。

在資訊工程領域,微積分被應用在以下領域

  1. 神經網路
  2. 機器學習
  3. 機器人控制
  4. 語音處理
  5. 影像壓縮 (傅立葉轉換)
  6. 電子電路
  7. 電磁波與通訊(傅立葉轉換、張量分析)

離散與連續

傳統上、資訊工程系的數學是以離散數學為主,因為資訊領域處理的是數位資料,數位資料都可以表示為只有 0 與 1 兩種位元值的組合,所以離散數學是資訊工程系主要探討的數學。

但是在電子電機領域,由於探討的是連續的電流,因此必須以函數對電流進行描述,所以微積分的重要性就凸顯了出來,因為微積分是探討連續函數的數學。

但電子資訊領域有時是互相跨越的,其中所用的數學也是如此。舉例而言,語音原本是連續的波形,但是經過取樣之後就變成了離散的取樣點,這時如果用離散的角度去看語音,就很難發現其特性。

如果採用連續的角度用函數去描述語音,然後再用三角函數去逼近語音的波形,就會發現傅立葉轉換是很好用的工具,可以用來將波形轉換為不同頻率的三角函數之組合。

當我們轉回離散領域去思考時,就會發現語音或影像壓縮可以用離散傅立葉轉換來進行,利用餘弦函數的系數代替取樣點,可以有效的將影像檔大小壓縮到二十分之一左右,這種壓縮法就是 JPEG 檔案格式所採用的方法。

本書的特色在於使用程式人的觀點,盡可能的將微積分這門數學以程式人的角度去解讀,讓您能將數學理論直接應用在程式撰寫上,並用微積分來理解電腦的世界。

集合與映射

函數的概念

向量空間

補充

微積分可以用在電腦的哪些領域呢?

主題 用途
泰勒展開式 影像壓縮
微分 神經網路、機器人控制
積分 數値分析
無窮數列 生成函數(離散)、動差生成函數(機率統計)
連續 不可數無限大、連續統假說、歌德爾定律、停止問題、計算理論
傅立葉轉換 影像壓縮,影像處理,影像辨識,通訊理論,電磁學
小波轉換 影像壓縮,影像處理,影像辨識,通訊理論,電磁學
SVM 機器學習

反過來看,電腦領域哪裏用到微積分呢?

應用 相關數學
電磁學 電通量、磁通量、環場積分、梯度
波動 圓周運動、三角函數、傅立葉、影像壓縮,影像處理,影像辨識,通訊理論

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