梯度 (Gradient)
微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
在向量場當中，等位線代表某個向量場中的純量衡量值所形成的線，例如電場當中的等電位線就是一個重要的範例。 從等位線 V 到等位線 $V+\Delta V$ 時最短的路線，稱為 V 的最大空間增加率，此即為 V 的梯度。 (1)\begin{align} grad V = \nabla V \end{align}
(2)
\begin{align} dV = \nabla V * d \vec{l} \end{align}
在 3D (x,y,z) 直角坐標系當中，梯度的計算如下： (3)\begin{align} \nabla V = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} \end{align}
在 3D $(r, \phi, z)$ 圓柱坐標系當中，梯度的計算如下： (4)\begin{align} \nabla V = \nabla f(r,\phi,z) = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{e}_{r} + \frac1{r}\frac{\partial f}{\partial\phi} \hat{e}_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{e}_{z} \end{align}
在 3D $(R, \theta, \phi)$ 球坐標系當中，梯度的計算如下： (5)\begin{align} \nabla V = \nabla f(R,\theta,\phi) = \frac{\partial f}{\partial R} \hat{e}_{R} + \frac1{R}\frac{\partial f}{\partial\theta} \hat{e}_{\theta} + \frac1{R \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{e}_{\phi} \end{align}
參考文獻 |
page revision: 8, last edited: 09 Sep 2012 06:03
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