微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
對偶空間對偶空間在張量與函數分析上是重要的基礎慨念，對於以下所提到的向量空間 V ，您都可以想像成實數空間 $\mathbb{R}^n$，但事實上都可以推廣到通用的賦範空間 (Normed Vector Space)。 向量空間 V 的「對偶空間」 V* 是 V 上的所有線性函數所形成的空間，基本上分為兩類，分別是：「代數對偶空間」(Algebraic Dual Space) 與「連續對偶空間」(Continuous Dual Space) 。 「代數對偶空間」定義一個完整的空間，而「連續對偶空間」(Continuous Dual Space) 則探討向量空間 (topological vector space) 中的一個子集合與其對偶空間的特性，「連續對偶空間」所討論的對偶函數通常是連續的函數，所以可以用微積分的方法進行分析討論。 代數對偶空間V 是一個場 F 上的向量空間，其對偶空間 V* 定義為 φ: V → F (linear functionals)，也就是那些線性函數所形成的空間。換句話說，「對偶空間 V* 為由 V 到 F 的所有線性函數的集合」。 在此，所謂線性函數的意義是 V* 中的元素 (函數 φ, ψ 等)，滿足下列條件： (1)\begin{eqnarray} (\phi + \psi )( x ) &=& \phi ( x ) + \psi ( x ) \, \\ ( a \phi ) ( x ) &=& a \phi ( x ) \, \\ ∀ φ, ψ ∈ V*, && ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V \end{eqnarray}
在數學語言中, V 的元素被稱為逆變向量 (contravariant) 而 V* 的元素被稱為協變向量 (covariant)，同向量 (co-vectors) 或一形 (one-form)。 向量元素 x 與對偶空間中的元素 φ 常被合起來成為一對，也就是 φ(x) 可用 [φ,x] 或 ⟨φ,x⟩ 表示。這個配對定義了一個從 V* × V → F 的雙線性映射。 有限維度的案例如果 V 是有限維的, V* 的維度和 V 的維度便相等; \begin{align} e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right. \end{align}
如果 V 是平面幾何向量的空間，V* 便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。 雙線性乘積與其對偶空間連續對偶空間連續對偶空間 V' 是 V* 的一個子空間，其 norm 值定義如下： (3)\begin{align} \|\varphi\| = \sup \{ |\varphi(x)| : \|x\| \le 1 \}. \end{align}
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對偶空間 (Dual Space)
page revision: 11, last edited: 12 Sep 2012 13:06
请问，在实数域上自然基的对偶基是什么？
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