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我知道乘法是除法的反運算,這個小學生就知道了。但是微分是積分的反運算,這點很難想,很多大學生也不知道。

到底怎麼理解這件事情呢?我試圖做一個解釋。

如果觀察下列情形:

(1)
\begin{eqnarray} && \int_a^x 1\, dt\, = x \qquad \leftrightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x = 1 \\ && \\ && \int_a^x x\, dt\, = \frac{x^2}{2} \qquad \leftrightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{x^2}{2} = x \\ && \\ && ... \\ \end{eqnarray}

那麼這個情況似乎是真的。

但是數學不能只是「看來像真的」,不過這是個好的開始,我們必須有更進一步的直覺。

如果用極限分析法,那麼我們可以將積分運算,也就是計算一小塊的積分面積看成如下公式:

(2)
\begin{align} F(x+\Delta x)-F(x) = f(x) \Delta x \end{align}

既然如此,那麼對這個算式再進行微分之後,當然就會變成如下算式而還原了啦,終究還是乘法與除法的關係啊。

(3)
\begin{align} \frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{f(x) \Delta x}{\Delta x} = f(x) \end{align}

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