微分與積分
微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
我知道乘法是除法的反運算，這個小學生就知道了。但是微分是積分的反運算，這點很難想，很多大學生也不知道。 到底怎麼理解這件事情呢？我試圖做一個解釋。 如果觀察下列情形： (1)\begin{eqnarray} && \int_a^x 1\, dt\, = x \qquad \leftrightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x = 1 \\ && \\ && \int_a^x x\, dt\, = \frac{x^2}{2} \qquad \leftrightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{x^2}{2} = x \\ && \\ && ... \\ \end{eqnarray}
那麼這個情況似乎是真的。 但是數學不能只是「看來像真的」，不過這是個好的開始，我們必須有更進一步的直覺。 如果用極限分析法，那麼我們可以將積分運算，也就是計算一小塊的積分面積看成如下公式： (2)\begin{align} F(x+\Delta x)-F(x) = f(x) \Delta x \end{align}
既然如此，那麼對這個算式再進行微分之後，當然就會變成如下算式而還原了啦，終究還是乘法與除法的關係啊。 (3)\begin{align} \frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{f(x) \Delta x}{\Delta x} = f(x) \end{align}
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page revision: 1, last edited: 27 Jul 2012 02:30
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