微分
微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
導數導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。 (1)\begin{align} f'(x_0)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}
![]() 如果我們將函數 y=f(x) 在所有點上的導數視為一個函數,則這個函數稱為 f(x) 的微分式 f'(x)。 (2)\begin{align} f'(x)= \frac{dy}{dx} = \frac{d f(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align}
可微分定義:若 f(x) 在 x=c 點可微分,則 f(x) 滿足下列條件: (3)\begin{align} f(c) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c+\Delta x) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c-\Delta x) \quad ; \quad \Delta x > 0 \end{align}
定理. 設函數 f 在 x 可微,則 f 在 x 連續。 切線定義. 在 y = f (x) 之圖形上,其中的點 (a, f (a)) 之切線為 (1)非垂直:過 ( a, f (a)) 且斜率為 f'(a) 之直線,若 f'(a) 存在; 微分法則基本法則 (4)\begin{eqnarray} && f'(c) &=& 0 \\ && f'(x^n) &=& n x^{n-1} \\ && f'(e^x) &=& e^x \\ && f'(a^x) &=& a^x ln(a)\\ && f'(ln(x)) &=& \frac{1}{x} \\ && f'(ln_a(x)) &=& \frac{1}{x ln(a)} \\ \end{eqnarray}
三角函數的微分 (5)\begin{eqnarray} && f'(sin(x)) &=& cos(x) \\ && f'(cos(x)) &=& - sin(x) \\ && f'(tan(x)) &=& sec^2(x) \\ && f'(cot(x)) &=& - csc^2(x) \\ && f'(sec(x)) &=& tan(x) sec(x) \\ && f'(csc(x)) &=& - csc(x) cot(x) \\ \end{eqnarray}
和角公式為證明三角函數微分的基礎,請參看:和角公式 證明:f'(sin(x)) = cos(x) (6)\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} sin(x) &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x} \\ &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin(x) cos(\Delta x)+cos(x) sin(\Delta x)-sin(x)}{\Delta x} \\ &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin(x) (cos(\Delta x)-1)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{cos(x) (sin(\Delta x))}{\Delta x} \\ &=& sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ cos(\Delta x)-1}{\Delta x} + cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ &=& cos(x) \end{eqnarray}
參考:http://webcai.math.fcu.edu.tw/calculus/calculus_html/3-5/triderivate.htm 反三角函數的微分 (7)\begin{eqnarray} && f'(sin^{-1}(x)) &=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && |x| < 1\\ && f'(cos^{-1}(x)) &=& \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} && |x| < 1 \\ && f'(tan^{-1}(x)) &=& \frac{1}{1+x^2} && x \in R \\ && f'(cot^{-1}(x)) &=& \frac{-1}{1+x^2} && x \in R \\ && f'(sec^{-1}(x)) &=& \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} && |x| > 1 \\ && f'(csc^{-1}(x)) &=& \frac{-1}{|x| \sqrt{x^2-1}} && |x| > 1 \\ \end{eqnarray}
組合法則 (8)\begin{eqnarray} && [c f(x)]' = c f'(x) \\ && [f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x) \\ && [a f(x)+b g(x)]' = a f'(x) + b g'(x) \\ && [ f(x) g(x)]' = f(x) g'(x) + g(x) f'(x) \\ && [ \frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)^2]} \\ \end{eqnarray}
連鎖法則 若 y=f(u(x)) 且可微分,則下列算式成立 (9)\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \frac{d f(u(x))}{dx} = \frac{d y(u)}{du} \frac{d u(x)}{dx} \end{eqnarray}
或者可簡寫成 (10)\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \end{eqnarray}
隱函數的微分(11)\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \end{eqnarray}
羅必達法則當 f(x) , g(x) 均趨近於零 (或無限大) 時,可以用羅必達法則求出不定型 $0 / 0$ 或 $\infty / \infty$ 的値。 使用條件:f(x) 與 g(x) 在某個包含 c 的開區間中可微分 (c 除外),且 $g'(x) \ne 0$ 羅必達法則:當下列條件之一成立時 (12)\begin{eqnarray} 1.&\lim_{x \to a} f(x) \to 0 \; and \; \lim_{x \to a} g(x) \to 0 \\ 2.&\lim_{x \to a} f(x) \to \infty \; and\; \lim_{x \to a} g(x) \to \infty \\ \end{eqnarray}
則可再度微分以便求出 $f'(x)/g'(x)$ (13)\begin{align} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align}
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page revision: 37, last edited: 08 Oct 2012 08:36
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