微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
記號約定在複分析中複數通常用符號 z 表示，它可以分為實部 (x) 與虛部 (y)： (1)\begin{align} z = x + i y\, \end{align}
這裏 x 與 y 是實數，i 是虛單位。在這種通常記法下複數 z 對應與笛卡兒平面中的點 (x, y)。 笛卡兒平面中的點 (x, y) 在極座標中也能表示為 (2)\begin{align} (x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\qquad\left(r = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta=\arctan\frac{y}{x}\right).\, \end{align}
在笛卡兒平面中可能假設反切 (反餘玹) 函數取值於 −π 到 π （弧度，當 x ≤ 0 時，對 (x,y) 定義“真正的”反切函數需要一點考慮。在複平面上它們的極座標具有如下形式 (3)\begin{align} z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}\, \end{align}
這裏 (4)\begin{align} |z| = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = -i\log\frac{z}{|z|}.\, \end{align}
這裏 |z| 是複數 z 的絕對值或長度；θ 是 z 的輻角，通常取值於區間 0 ≤ θ < 2π；最後一個等式（$|z|= e^{i \theta}$）得自歐拉公式。注意 z 的輻角是多值的，因為複指數函數是週期為 2πi。從而，如果 θ 是 arg(z) 的一個值，其他值由 arg(z) = θ + 2 n π 給出，這裏 n 是任何 ≠ 0 整數。 圍道積分理論是複分析的重要組成部分。在此情形，沿著閉曲線的積分方向是要緊的——沿著相反的方向所得的積分值乘以 −1。習慣上“正方向”是逆時針方向。例如，沿著單位圓我們從點 z=1 開始，向右上移動經過 z=i，然後向左下經過 −1，右下經過 − i，最後向右上移動到達起點 z=1，這就是單位圓的正方向。 幾乎所有複分析專注複函數——即將複平面的一個子集映到複平面某個另外的（可能相交甚至重合）子集。這裏習慣說 f(z) 的定義域位於 z-平面上，並稱 f(z) 的值域或像作為 w-平面中的一個點集。用符號記成 (5)\begin{align} z = x + iy;\qquad f(z) = w = u + iv,\, \end{align}
並經常將函數 f 視為 z-平面（帶有座標 (x, y)）到 w-平面（帶有座標 (u, v)） 的變換。 複變函數複變函數，是引數和因變數都為複數的函數。更確切的說,復函數的值域與定義域都是複平面的子集。在複分析中，引數又稱為函數的“宗量” 對於復函數，引數和因變數可分成實部和虛部: (6)\begin{align} z = x + iy\, \end{align}
(7)
\begin{align} w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\, \end{align}
用另一句話說，就是函數 f(z) 的成分, (8)\begin{align} u = u(x,y)\, \end{align}
(9)
\begin{align} v = v(x,y),\, \end{align}
可以理解成變數 x 和 y 的二元實函數。 全純函數全純函數（holomorphic function）是定義在複平面C的開子集上的，在複平面C中取值的，在每點上皆複可微的函數。 複變函數為全純函數的充分必要條件是複變函數的史部和虛部同時滿足「柯西-黎曼方程」 (10)\begin{align} { \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y } \end{align}
和 (11)\begin{align} { \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } . \end{align}
通過上面的這個方程組也可以由全純函數的實部或者虛部之一來求解另一個。 柯西積分定理柯西積分定理指出，如果全純函數的閉合積分路徑沒有包括奇異點，那麼其積分值為0；如果包含奇異點，則外部閉合路徑正向積分的值等於包圍這個奇異點的內環上閉合路徑的正向積分值。 柯西積分定理假設 U 是複平面 C 的一個開子集，f:U → C 是一個在閉圓盤 D 上複可微的方程，並且閉圓盤 D = { z : | z − z0 ≤ r} 是 U 的子集。 設 C 為 D 的邊界 。則可以推得每個在 D 內部的點 a: (12)\begin{align} f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-a}\, dz \end{align}
其中的積分為逆時針方向沿著 C 的積分。 柯西積分定理，是一個關於複平面上全純函數的路徑積分的很重要的陳述。這個定理說明，如果從一點到另一點有兩個不同的路徑，而函數在兩個路徑之間處處是全純的，則函數的兩個路徑積分是相等的。也就是說，設 U 是 C 的一個單連通開子集，f : U → C 是一個全純函數，並設 γ 是 U 內的一個可求長路徑，其起點與終點相同，則 (13)\begin{align} \oint_\gamma f(z)\,dz = 0. \end{align}
U 是單連通的條件，意味著 U 沒有“洞”，例如任何一個開圓盤 U={ z: |z-z0| < r} 都符合條件，這個條件是很重要的，考慮以下路徑 (14)\begin{align} \gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right] \end{align}
它是一個單位圓，則路徑積分 (15)\begin{align} \oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} { ie^{it} \over e^{it} }\,dt= \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i \end{align}
不等於零；這裏不能使用柯西積分定理，因為 f(z) = 1/z 在 z=0 處沒有定義。 該定理的一個重要的結果，是在單連通域內全純函數的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算：設 U 是 C 的一個單連通開子集，f : U → C 是一個全純函數，並設 γ 是 U 內的一個分段連續可微分的路徑，起點為 a，終點為 b。如果 F 是 f 的一個複數導數，則 (16)\begin{align} \int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a). \end{align}
從柯西積分定理可以推導出「柯西積分公式」和「留數定理」。 柯西積分公式在數學中，柯西積分公式是複分析的一個核心理論。以著名數學家柯西命名。 它主要表述了任何一個在閉圓盤上複可微的方程在圓盤內的值完全取決於它在盤邊界上的值。並且圓盤內每一點的所有的導數也可通過柯西積分公式計算。而在實分析中這樣的結果是完全不可能達到的。 假設 U 是複平面 C 的一個開子集，f:U →C 是一個在閉圓盤 D 上複可微的方程，並且閉圓盤 D = {z| z-z0 <= r} 是 U 的子集。 設 C 為 D 的邊界。則可以推得每個在 D 內部的點 a： (17)\begin{align} f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-a}\, dz \end{align}
其中的積分為逆時針方向沿著 C 的積分。 亞純函數在複分析中，一個複平面的開子集 D 上的亞純函數是一個在 D 上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函數，那些孤立點稱為該函數的極點。 複變函數的級數展開複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如：每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示： (18)\begin{align} f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n = a_0 + a_1 (z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + a_3 (z-z_0)^3 + \cdots \end{align}
特別地，全純函數都是無限次可微的，性質對實可微函數而言普遍不成立。大部分初等函數（多項式、指數函數、三角函數）都是全純函數。常用的方法有=「泰勒級數展開」等。 洛朗級數複變函數 f(z) 的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。 (19)\begin{align} f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n \end{align}
奇點的情況對於複變函數的孤立奇點，有如下三類。 本質奇點複變函數在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開，如果存在無窮個負冪項，那麼這個點稱為“本質奇點”。 對複平面 C 上的給定的開子集 U，以及 U 中的一點 a，亞純函數 f:U\{a}→C 在 a 處有本質奇點當且僅當它不是極點也不是可去奇點。 極點複變函數在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開，如果存在有限個負冪項，那麼這個點稱為“極點” (singularity)。 亞純函數的極點是一種特殊的奇點，它的表現如同 z-a = 0 時 $1/(z-a)^n$ 的奇點。這就是說，如果當 z 趨於 a 時，函數 f(z) 趨於無窮大，那麼 f(z) 在 z = a 處便具有極點。 可去奇點複變函數在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開，如果沒有負冪項，那麼這個點稱為“極點” (singularity)。 如果 U 是複平面 C 的一個開集，a 是 U 中一點，f : U-{a} → C 是一個全純函數，如果存在一個在 U - {a} 與 f 相等的全純函數 g : U → C，則 a 稱為 f 的一個「可去奇點」。如果這樣的 g 存在，我們說 f 在 a 是可全純延拓的。 授權本文修改自維基百科，使用時請遵守其 CC-by-sa 3.0 授權。 參考文獻
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複變函數
page revision: 22, last edited: 28 Jul 2012 12:32
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