微積分簡介函數極限微分積分微分與積分公理化無窮級數泰勒展開式傅立葉級數拉氏轉換z 轉換小波轉換多變量微積分向量與函數向量分析複變函數偏微分Jocobian多重積分微分方程偏微分方程向量場對偶空間張量梯度線積分散度旋度英文用語GeoGebra習題相關書籍應用數學微積分離散數學線性代數機率統計訊息相關網站參考文獻最新修改簡體版English |
簡介微積分的英文名稱為 Calculus，該詞原意是「計算法」的意思，就像資訊科學領域當中的「演算法」(Algorithm) 一樣，泛指所有可以計算的方法。 事實上，微積分的原始全名為 infinitesimal calculus，也就是「無限小的計算法」，但是這個名稱太長不好念，後來就直接用 Calculus 代表「微積分」了。 清朝數學家李善蘭將 Calculus 翻譯為「微積分」，很精確的抓到了 infinitesimal calculus 的意義，於是後來 Calculus 就被翻譯為「微積分」。 但必須注意的是， Calculus 這個詞仍然被用在許多其他領域，其中很多與「無限小」這個概念無關，像是程式設計領域中的 Lambda Calculus (λ演算)，以及數理邏輯當中的 Predicate Calculus (謂詞邏輯) 等，都與微積分沒有太大關係，這時您必須將 Calculus 翻譯為「計算法」。 無限小Infinitesimal calculus (無限小的計算法) 這個詞言簡意賅的指出了微積分的主要內容。在微積分當中，我們通常用 $\epsilon$ 代表無限小，然後用 $\infty$ 這個符號代表無限大。 當然，無限大的倒數 $\frac{1}{\infty}$ 也就是無限小，無限小的倒數 $\frac{1}{\epsilon}$ 也就是無限大。 另一個常被用來表示「無限小」意義的符號是 $\Delta$，但這個符號通常不會單獨存在，而是會放在某個變數 (例如 x, y, z, ….) 的前面，像是 $\Delta x, \Delta y, \Delta y$，用來代表一個很小的差異 (Difference)。 微分學 (Differential calculus)微分學是通過導數和微分來研究曲線斜率、加速度、最大值和最小值的一門學科。 微分意味著取一個無窮小量。單從一個變數的角度，微分毫無意義，它的作用在於描述兩個變數之間的變化關係，通常用兩個變數的微分商的函數來描述一個函數的變化趨勢，也稱為「微商」或「求導」，通常記作dy/dx。 微分的意義是函數 f(x) 在某個點 a 的切線之斜率，在微積分中通常寫成 f'(a)，定義如下： (1)\begin{align} f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \end{align}
但事實上，切線可從兩個方向逼近，而且這兩個斜率在轉折點時會有所不同，因此正確的定義應該使用「左導數」與「右導數」這兩個概念。 (2)\begin{eqnarray} 左導數：f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(x-\Delta x)}{\Delta x} \\ 右導數：f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \end{eqnarray}
只有當左導數與右導數相同時，我們才能說 f'(a) 存在，此時我們說 f(x) 在 a 點可微分，其斜率為 f'(a)。 如果我們將所有點微分後的斜率視為一個函數，那這些斜率所形成的曲線就稱為 f(x) 的微分函數 f'(x)。 積分學 (Integral calculus)積分是求面積的函數，也就是計算 f(x) 從 x=a 到 b 之間的面積，記為 (3)\begin{align} \int_a^b f(x)\,dx \end{align}
積分是微分的反函數，也就是假如下列算式成立。 (4)\begin{align} F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,. \end{align}
那麼下列算式必然也成立。 (5)\begin{equation} F'(x) = f(x) \end{equation}
簡而言之，微分與積分互為反運算，就像乘法是除法的反運算一般，其關係如下所示。 (6)\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) \end{align}
積分的圖形若以黎曼式積分法來逼近的話，可以用下圖表示。  微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。定理的第一部分，有時稱為微積分第一基本定理，表明不定積分是微分的逆運算。定理的第二部分，有時稱為微積分第二基本定理，表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。這一部分有很多實際應用，這是因為它大大簡化了定積分的計算。 參考文獻
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微積分 -- 簡介
page revision: 5, last edited: 27 Jul 2012 02:27
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